Surfaces à bord polygonal dans l'espace pseudo-hyperbolique

Surfaces with polygonal boundary in pseudo-hyperbolic-spaces

• Auteur / Autrice : Alex Moriani
• Direction : François Labourie, Jeremy Toulisse
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2021
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie différentielle

Surface minimale

Espace pseudo-hyperbolique

Géométrie pseudo-Riemannienne

Differential geometry

Minimal surfaces

Pseudo-hyperbolic space

Pseudo-Riemannian geometry

Résumé

L'espace pseudo-hyperbolique H(2,n) est une généralisation naturelle du plan hyperbolique H(2) qui correspond au cas n=0. C'est un espace de dimension n+2 qui admet une métrique pseudo-riemannienne de signature (2,n). Cet espace H(2,n) admet aussi un {em bord à l'infini} Bd-H(2,n) qui lui admet un structure conforme de type $(1,n)$. Ce bord à l'infini permet de compactifier l'espace H(2,n) de la même manière que le cercle compactifie l'espace hyperbolique dans son modèle du disque de Poincaré. Des travaux récents montre qu'il y a une correspondance exacte entre courbe de type espace, ou plus précisément positive, tracée sur Bd-H(2,n) et surfaces maximales dans l'espace H(2,n). Le but du sujet de thèse est d'affiner la correspondance dans le cas de courbes polygonales. Une courbe polygonale est une courbe donnée dans le bord à l'infini par une succession continue de ``segments' de type lumière, les segments ayant une définition bien précise dans un modèle naturel de H(2,n). En particulier une première question serait de montrer que la structure conforme de la surface maximale associée à une courbe polygonale est plate. Une surface maximale n'est pas seulement donnée par sa structure conforme, mais aussi par un champ de Higgs. Une fois la réponse à la première question acquise, une deuxième question serait : montrer que la croissance du champ de Higgs associé à une courbe polygonale est polynomiale. Signalons que les cas particuliers n=1 et n=2 de cette correspondance sont connus. Si cette première partie du projet fonctionne comme prévue de nombreuses questions naturelles se posent alors : par exemple la réciproque des questions précédentes, le lien avec l'énergie de Moebius...

The pseudo-hyperbolic space H (2, n) is a natural generalization of the hyperbolic plane H (2) which corresponds to the case n = 0. It is a space of dimension n + 2 which admits a pseudo-Riemannian metric of signature (2, n) Nad has courbature -1. This space H (2, n) also admits a boundary at infinity Bd-H (2, n) which admits to it a conformal structure of type (1, n) . This boundary at infinity makes it possible to compactiez the space H (2, n) in the same way that the circle compactifies the hyperbolic space in the Poincaré disk model. Recent work shows that there is an exact correspondence between a space-type curve, or more precisely positive, drawn on Bd-H (2, n) and maximum surfaces in space H (2, n). The goal of the thesis topic is to refine the correspondence in the case of polygonal curves. A polygonal curve is a curve given in the edge at infinity by a continuous succession of `` segments '' of light type, the segments having a very precise definition in a natural model of H (2, n). In particular, a first question would be to show that the conformal structure of the maximum surface associated with a polygonal curve is flat. A maximum area is not only given by its conformal structure, but also by a Higgs field. Once the answer to the first question has been obtained, a second question would be: show that the growth of the Higgs field associated with a polygonal curve is polynomial. Note that the particular cases n = 1 and n = 2 of this correspondence are known. If this first part of the project works as planned, many natural questions then arise: for example the reciprocal of the previous questions, the link with the energy of Moebius ...