Assimilation de données pour la réduction et la calibration de modèles de transport turbulent pour la fusion par confinement magnétique

Data assimilation for the reduction and the calibration of turbulent transport models for magnetic confinement fusion

• Auteur / Autrice : Louis Lamérand
• Direction : Didier Auroux, Francesca Rapetti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Eric Serre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Didier Auroux, Francesca Rapetti, Eric Serre, Guido Ciraolo, Arthur Vidard, Florence Marcotte
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guido Ciraolo, Arthur Vidard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Mécanique des fluides

Équations aux dérivées partielles

Simulation par ordinateur

Réduction de modèle

Fusion au plasma

Mots clés libres

Assimilation de données

Plasmas de fusion

Identification de paramètres

Réduction de modèle

Simulation numérique

Data assimilation

Fusion plasmas

Parameter identification

Model reduction

Numerical simulation

Résumé

Dans le modèle de réacteur de fusion expérimental le plus avancé, le tokamak, la matière réactive est chauffée sous l'état de plasma à la température très élevée nécessaire pour que la réaction de fusion se produise spontanément, et est maintenue à distance des murs de la machine par un champ magnétique intense. Pour pouvoir produire et contrôler une prochaine génération de réacteurs performants énergétiquement et qui ne risquent pas d'être endommagés par un trop grand flux de matière échappant au confinement, la simulation numérique est un outil fondamental. Malheureusement, du fait de la complexité du système, il est impossible de simuler le tokamak complet avec un modèle très précis en un temps raisonnable. De ce fait, afin d'être assez rapide pour être utilisés pour des simulations multiphysiques du tokamak complet ou pour trouver des points de fonctionnement optimaux, les modèles dit ''de transport'' simplifient notamment la résolution des turbulences du plasma. En effet, une large part du transport de matière et d'énergie dans le plasma est due à des fluctuations turbulentes à différentes échelles de temps et d'espace, dont le calcul exact avec un solveur numérique demanderait une grille de discrétisation très précise, augmentant d'autant le temps de calcul. L'approche choisie pour les codes de transport, similairement aux équations Reynolds-Averaged Navier-Stokes de mécanique des fluides neutres, est de simplifier les turbulences en considérant des équations sur des variables moyennées sur les échelles de temps et d'espace des fluctuations, puis de modéliser l'effet des turbulences par des termes diffusifs dans les équations moyennées. De par la nature de cette simplification, il est impossible d'obtenir analytiquement une loi de fermeture exacte pour les valeurs des coefficients de diffusion associés à ces nouveaux termes, et ils sont généralement pris constants ou choisis manuellement pour correspondre à des expériences. Bien que l'ajout récent d'un modèle ''k-epsilon'' au code de transport SolEdge3X pour estimer ses coefficients de diffusion ait permis de recréer des comportements typiques du plasma de tokamak, il reste des paramètres non identifiés. Ainsi, SolEdge3X pourrait grandement bénéficier d'une procédure de calibration efficace qui adapterait ses différents paramètres pour reproduire précisément des observations d'expériences ou des données générées par des modèles de plasma plus précis. Pour cela, l'assimilation de données, et tout particulièrement les méthodes variationnelles, apparaissent comme une direction très prometteuse. Suivant l'approche de l'assimilation de données variationnelle, la calibration d'un système d'EDP dépendant d'un ensemble de paramètres est formulé comme un problème d'optimisation où la fonction coût est calculée comme une distance entre la trajectoire générée par la résolution du système pour un certain jeu de paramètres et les données venant d'expériences. En utilisant la méthode du gradient adjoint, il est alors possible d'obtenir le gradient de la fonction coût en fonction des paramètres pour l'utiliser dans des algorithmes de minimisation très efficace, de type quasi-Newton, qui peuvent rapidement obtenir l'ensemble de paramètres pour lesquels le coût est minimal, même pour des problèmes de très grande dimension. Dans ce manuscrit, une méthode d'assimilation de données variationnelle est testée sur une version simplifiée d'un modèle k-epsilon pour un code de transport pour plasma. L'objectif est de montrer le potentiel de cette méthode pour identifier les paramètres qui permettraient à un code de transport de reproduire précisément les résultats d'expériences sur de vrais tokamaks. Un intérêt particulier est accordé aux techniques pour adapter la procédure de calibration au problème donné, notamment le choix et l'implémentation de différentes stratégies de régularisation, qui pourraient aussi être reproduites pour améliorer l'identification de paramètres dans d'autres contextes.

In the most promising design of experimental fusion reactors, the tokamak, the reactive matter is heated to a plasma state at the extremely high temperature necessary for the nuclear fusion to happen spontaneously, and maintained at a reasonable distance from the walls of the device by an intense magnetic field. In order to produce future generations of tokamaks which would both maximise the energy production and avoid potential damages due to a too high flux of hot particles escaping the magnetic confinement, the numerical simulation is a fundamental tool. Unfortunately, due to the complexity of the system, it is impossible to simulate the whole device with the most precise physical models in a reasonable amount of time. Thus, in order to be fast enough to be used for multiphysics simulation of the whole tokamak or to find ideal functioning scenarios, the so-called transport models are specifically designed to simplify the resolution of the plasma turbulence. Indeed, a large part of the transport of matter and energy in the plasma is due to turbulent fluctuations at different scales in time and space, so that calculating them exactly with a numerical solver would require a very precise discretisation grid, increasing drastically the computational complexity. The approach chosen for transport code, similarly to the Reynolds-averaged Navier-Stokes equation in neutral fluid dynamics, is to simplify the turbulence by considering equations of variables averaged over the fast fluctuations, and then modelling the effect of the turbulence by adding diffusion-like terms in the averaged equations. By the nature of this simplification, it is impossible to obtain analytically exact closures for the value of the diffusion coefficients associated with those new terms, and they are generally chosen as constant or edited by hand to correspond to observations. Although the incorporation of a k-epsilon model to estimate the diffusion coefficients in the transport code SolEdge3X helped to reproduce self-consistently typical Tokamak plasma behaviours, there remains unidentified parameters. Hence, SolEdge3X could greatly benefit from an efficient calibration procedure which would tune its different parameters to reproduce precisely observations from experiments or data from more accurate plasma models.To this end, a potentially very promising direction lies in the exploitation of strategies from the mathematical domain of data assimilation, and particularly the variational methods. In the variational data assimilation framework, the calibration of a PDE system depending on some parameters is framed as an optimisation problem where the objective is to minimise a cost function computed as a distance between the trajectory generated by solving the system for the current set of parameters, and the data from experiments. Using an efficient method known as the adjoint gradient, it is then possible to obtain the gradient of the cost with regard to the parameters of the system to use it in efficient minimisation routines, typically quasi-Newton algorithms, that can quickly estimate the set of parameters yielding the lowest cost value, even for problems of very high dimensions.In this manuscript, a variational data assimilation method will be thoroughly tested on a simplified k-epsilon model for a plasma transport code. The objective is to show the potential of this method to identify the parameters that will allow a transport code to precisely reproduce the results from experiments on real tokamaks. A special focus is made on the way the calibration procedure is adapted to the given problem, including the choice and implementation of multiple regularisation strategies, which could be reproduced to improve parameter fitting in many other contexts.