Décomposition de domaine et méthodes numériques multi-échelles pour la modélisation des crues urbaines

Domain decomposition and multi-scale numerical methods for the modelling of urban floods

• Auteur / Autrice : Miranda Boutilier
• Direction : Victorita Dolean, Konstantin Brenner
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/10/2024
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Roland Masson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Victorita Dolean, Konstantin Brenner, Roland Masson, Frédéric Valentin, Florence Hubert, Martin Vohralík
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Frédéric Valentin, Florence Hubert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inondations -- Maîtrise

Inondations -- Prévision

Modèles mathématiques

Inondations

Décomposition de domaines (mathématiques)

Analyse multiéchelle

Mots clés libres

Méthodes multi-échelles

Crues urbaines

Décomposition de domaine

Préconditionnement non linéaire

Domain decomposition

Multi-scale methods

Urban floods

Nonlinear preconditioning

Résumé

Les travaux de cette thèse sont consacrés à la simulation et à l'analyse numérique des problèmes d'inondations urbaines. Les inondations urbaines provoquées par des précipitations exceptionnelles sont particulièrement dévastatrices en termes de dégâts économiques et humains. La modélisation numérique peut être utilisée pour prédire, anticiper et contrôler de tels événements. Du point de vue numérique, le défi majeur réside dans le grand contraste entre la taille typique du domaine de simulation (10-100km) et la taille des caractéristiques structurelles pertinentes, qui doivent être représentées à des échelles métriques ou infra-métriques. Cette thèse aborde le caractère multi-échelle des inondations urbaines en mobilisant la décomposition de domaine (DD) et les méthodes numériques multi-échelles (Ms). La première partie de la thèse se concentre sur un problème de diffusion linéaire posé dans des domaines contenant un grand nombre de perforations polygonales représentant des structures réalistes dans les zones urbaines. Nous proposons un espace d'approximation grossier de faible dimension basé sur un partitionnement polygonal grossier du domaine. Comme dans la méthode d'éléments finis multi-échelles, cet espace est constitué des fonctions de base discrètes localement harmoniques. La principale contribution théorique de cette section est une estimation de l'erreur concernant la projection H¹ de la solution sur l'espace grossier. L'analyse d'erreur est indépendante de la régularité globale de la solution, ce qui est un atout majeur compte tenu des singularités géométriques du domaine. En combinant la méthode de Schwarz avec recouvrement et la correction de l'espace grossier à la base de la méthode multi-échelle proposée, on parvient à un solveur itératif et un préconditionneur efficaces, dont les performances sont étudiées numériquement.La deuxième partie de la thèse étend notre méthodologie numérique aux modèles d'écoulement non linéaires. En particulier, nous nous intéressons à l'équation de l'onde diffusive, obtenue à partir des équations de Saint-Venant en négligeant les termes d'inertie. Nous montrons que le préconditionneur à deux niveaux que nous avons conçu pour les problèmes de diffusion linéaire se prête également au problème de l'onde diffusive linéarisé qu'on obtient à chaque itération de la méthode de Newton. En outre, nous présentons des techniques de préconditionnement non linéaires, y compris la méthode RASPEN à un et deux niveaux, ce qui permet de réduire considérablement le nombre d'itérations par rapport à la méthode de Newton traditionnelle. Les exemples numériques illustrant les performances des méthodes proposées comprennent un cas test basé sur des données topographiques de la ville de Nice.Dans la dernière partie, pour les EDP elliptiques non linéaires, nous étudions une méthode multi-échelle qui combine des outils de la méthode d'éléments finis multi-échelles classique avec ceux de l'apprentissage automatique. Notre approche repose sur la formulation sous-structurée approchée dans laquelle les traces de la fonction inconnue sont recherchées dans un espace d'éléments finis grossier. Le problème sous-structuré est résolu par la méthode de Newton, faisant appel à des opérateurs Dirichlet-to-Neumann (DtN) locaux à chaque itération. Dans le but de réduire le coût de calcul associé à l'évaluation des opérateurs DtN, ces derniers sont remplacés par des modèles approchés construits sur la base des réseaux de neurones artificiels. Les expériences numériques concernant les problèmes non linéaires de p-Laplace et de diffusion dégénérée en 1D et 2D aboutissent à des résultats prometteurs. Avec seulement quelques points d'entraînement par dimension du domaine des opérateurs DtN, le modèle approché atteint une précision de quelques pour cent. Une amélioration supplémentaire peut être obtenue en utilisant la solution approché comme le point initial de la méthode de Newton appliquée à la formulation originale.

The work of this thesis is dedicated to the simulation and numerical analysis of urban flood problems.While urban flooding caused by exceptional rainfall is particularly devastating in terms of economic and human damage, numerical modeling can be used to predict, anticipate and control such events.From the numerical perspective, the major challenge comes from a large contrast between a typical size of the simulation domain (10-100km) and the size of the relevant structural features, which have to be represented at metric or infra-metric scales. This thesis addresses the multi-scale character of the urban flows by means of Domain Decomposition (DD) and Multi-scale (Ms) numerical methods.The first part of the thesis focuses on linear diffusion problems posed in domains containing a large number of polygonal perforations representing realistic structures in urban areas. We propose a low-dimensional coarse approximation space based on a coarse polygonal partitioning of the domain. Similarly to other multiscale numerical methods, this coarse space is spanned by locally discrete harmonic basis functions. The main theoretical contribution of this part is an error estimate regarding the H¹-projection over the coarse space; this error estimate is independent of the global regularity of the solution, which is expected to be low due to multiple corner singularities.Additionally, this part numerically explores the combination of the coarse space with overlapping Schwarz domain decomposition methods. This combination leads to an efficient two-level iterative linear solver and preconditioner for a Krylov method.The second part of the thesis extends our methodology to nonlinear urban flow models. That is, we design DD and Ms methods to numerically solve the Diffusive Wave equation, which is obtained from Shallow Water systems by neglecting inertia terms. We show that the two-level preconditioner previously designed for linear diffusion problems performs well on the linearized Diffusive Wave model which arises at each iteration of Newton's method. Furthermore, we present nonlinear preconditioning techniques, including one and two-level RASPEN, which significantly reduce iteration counts when compared to Newton's method. These nonlinear preconditioning techniques use the coarse space to form robust two-level methods. Numerical experiments are conducted, with the main example being the numerical solution of the Diffusive Wave equation on a large urban area of Nice, France.In the last part of the thesis, for nonlinear elliptic PDEs, we investigate a multi-scale method that combines tools from the classical Multi-scale Finite Element Method and Machine Learning. Our approach is based on the approximate substructured formulation in which the traces of the unknown function belong to a coarse finite element space. The substructured problem is solved by Newton's method, using local Dirichlet-to-Neumann (DtN) operators at each iteration. In order to reduce the computational cost associated with the evaluation of DtN operators, the latter are replaced by approximate models built on the basis of artificial neural networks.Numerical experiments on nonlinear p-Laplace and degenerate scattering problems in 1D and 2D show promising results. With only a few training points per dimension of the DtN operator domain, the approximate model achieves an accuracy of a few percent.