Analyse topologique de données bruitées

Topological analysis of noisy data

• Auteur / Autrice : Jeremie Capitao miniconi
• Direction : Elisabeth Gassiat, Frédéric Chazal
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2020
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Probabilités et statistiques (LMO)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-….)

Mots clés

Mots clés libres

Topologie

Statistique

Probabilité

Déconvolution

Topology

Statistics

Probability

Deconvolution

Résumé

Retrouver un signal caché dans un bruit additif est un problème de déconvolution. Tous les travaux jusqu'à maintenant nécessitaient une hypothèse restrictive et peu réaliste de connaissance a priori du bruit (connaissance éventuellement obtenue à l'aide de données directes complémentaires). Un travail récent [1] montre que l'on peut se passer de cette connaissance a priori, si le signal est multidimensionnel et sous une hypothèse très faible de structure de décomposition du signal en deux composantes dépendantes. A partir de là, il s'agit de proposer des stratégies permettant de retrouver des propriétés topologiques et/ou géométriques d'un objet pour lequel on a des observations bruitées, sans connaissance du tout sur la loi du bruit. A partir de l'article [1], on dispose d'un critère permettant d'estimer la fonction caractéristique (ou transformée de Fourier) de la loi du signal inconnu. Il s'agit alors d'exploiter cet estimateur pour comprendre les propriétés de la mesure dont il estime la fonction caractéristique. Une façon de le faire est de s'inspirer de la stratégie de la distance à la mesure développée dans [2] qui montre que l'on peut estimer de façon robuste des quantités géométriques et topologiques de supports de lois de probabilité de façon robuste par rapport à des perturbations dans la métrique de Wasserstein. Il faudra commencer par comprendre comment l'on peut obtenir un estimateur de cette mesure dont on contrôle l'écart à la mesure inconnue en distance de Wasserstein, comme [3] dans le cadre d'un bruit connu a priori.

Recovering a signal hidden in additive noise is the so-called deconvolution problem. All published work till now need a restrictive (and unrealistic) assumption : prior knowledge of the noise (which may come from other independent data). A recent work [1] proves that it is possible to solve the deconvolution problem with no knowledge at all on the noise, for multidimensional signal under a weak assumption such that may the signal be splitted in two non independant components. Then, the subject of the thesis is to propose strategies to recover topological and/or geometrical properties of an object for whoch one has noisy observations, without any assumption on the noise. Using [1], one has in hand a method to estimate the characteristic function (or Fourier transform) of the distribution of the signal. The question is then to use this estimator to understand properties of the measure it estimates the characteristic function. One way to proceed is to use the distance to measure strategy developed in [2] which shows that it is possible to build robust methods to estimate geometrical and topological parameters of supports of probability distribution from perturbed versions of it in Wasserstein's metric. The first step will be to understand how to get an estimator of this probability distribution with controlled errors in Wasserstein's metric, as is done in [3] in the deconvolution problem with known noise.