Mesures de Mahler de polynômes exacts et cohomologie

Mahler measures of exact polynomials and cohomology

• Auteur / Autrice : Thu Hà Trieu
• Direction : François Brunault
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/10/2024
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Déglise
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Brunault, Frédéric Déglise, Matilde Lalín, Rob de Jeu, Antonin Guilloux, Matthew D. Kerr, Sandra Rozensztajn, Wadim Zudilin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Matilde Lalín, Rob de Jeu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Mots clés libres

Mesure de Mahler

Motivique cohomologie

Complexes polylogarithmiques

Régulateurs

Deligne cohomologie

Fonctions L

Mahler measures

Motivic cohomology

Polylogarithmic complexes

Regulators

Deligne cohomology

L Functions

Résumé

La mesure de Mahler des polynômes en plusieurs variables, introduite par Mahler en 1962, ades liens avec les valeurs spéciales des fonctions L, dont la fonction zêta de Riemann. Le but principal de cette thèse est l’étude de ces relations à l’aide d’outils cohomologiques. L’idée d’utiliser les complexes polylogarithmiques de Goncharov pour étudier les mesures de Mahler a été considérée par Lalín pour le polynôme (x + 1)(y + 1) + z. Nous généralisons son résultat pour des polynômes exacts plus généraux. Plus précisément, sous certaines conditions et en supposant la conjecture de Beilinson, nous exprimons la mesure de Mahler d’un polynôme exact en 3 variables en termes de valeurs de fonctions L de courbes elliptiques et de valeurs de la fonction dilogarithme de Bloch-Wigner. En utilisant les travaux de De Jeu sur les complexes polylogarithmiques, nous construisons explicitement un élément dans la cohomologie motivique de la variété de Maillot, tel que son régulateur de Beilinson est relié à la mesure de Mahler.Plus généralement, nous exprimons la mesure de Mahler d’un polynôme exact en un nombre quelconque de variables en termes de la cohomologie de Deligne-Beilinson de la variété de Maillot. Nous appliquons cette méthode dans le cas du polynôme exact en 4 variables (x+1)(y+1)(z+1)+t.Sous la conjecture de Beilinson, nous prouvons que la mesure de Mahler de ce polynôme est une combinaison linéaire à coefficients rationnels de la fonction L d’une forme modulaire de poids 3 et niveau 7, et de la fonction zêta de Riemann.

The Mahler measure of multivariate polynomials, introduced by Mahler in 1962, has connections to special values of L-functions and the Riemann zeta function. The main goal of this thesis is to study these relations using cohomological tools.The idea of using Goncharov's polylogarithmic complexes to study Mahler measures was considered by Lalín for the polynomial (x+1)(y+1)+z. We generalize her result for more general exact polynomials. More precisely, under some conditions and Beilinson's conjecture, we express the Mahler measure of three-variable exact polynomials in terms of L-values of elliptic curves and values of the Bloch-Wigner dilogarithm function. Using the work of De Jeu on the polylogarithmic complexes, we construct explicitly an element in the motivic cohomology of the Maillot variety such that its Beilinson regulator is related to the Mahler measure.More generally, we express the Mahler measure of an exact polynomial in arbitrarily many variables in terms of the Deligne-Beilinson cohomology of the Maillot variety. We apply this method in the case of the four-variable exact polynomial (x+1)(y+1)(z+1)+t. Under Beilinson's conjecture, we prove that the Mahler measure of this polynomial is a rational linear combination of the L-function of a cusp form of weight 3 and level 7, and the Riemann zeta function.