Théorie de la preuve, représentations syntaxiques, logique, et partage

Proof theory, syntactic representations, logic, and sharing

• Auteur / Autrice : Jui-Hsuan Wu
• Direction : Dale Miller
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique, données, IA
• Date : Soutenance en 2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIX - Laboratoire d'informatique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : PARTOUT
• Jury : Président / Présidente : Hugo Herbelin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dale Miller, Beniamino Accattoli, Delia Kesner, Elaine Pimentel, Olivier Laurent
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Laurent, Silvia Ghilezan

Mots clés

Mots clés libres

Théorie de la démonstration

Lambda-calcul

Langages de programmation -- syntaxe

Syntactic representations

Proof theory

Focusing

Sharing

Lambda calculus

Résumé

Cette thèse s'intéresse à la conception des termes et la structure des preuves. Un terme (ou une expression) peut désigner toute structure syntaxique, y compris les phrases, les programmes, les preuves mathématiques, etc. Une notion de partage, rendue possible par la dénomination et la référence aux termes, est essentielle dans de nombreux contextes. L'objectif de cette thèse est de proposer une syntaxe appropriée qui soit à la fois expressive et compacte et qui permette un mécanisme de partage. C'est là qu'intervient la théorie de la preuve structurelle. La théorie de la preuve structurelle, comme son nom l'indique, met l'accent sur la structure des preuves mathématiques. Dans la théorie de la preuve structurelle, les systèmes de preuve sont utilisés pour décrire comment les preuves peuvent être construites. Souvent, différents systèmes de preuve sont proposés pour la même logique sous-jacente. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur (le fragment implicationnel de) la logique intuitionniste) et basons notre étude sur les systèmes de preuve focalisés, systèmes qui ''raffinent'' les calculs de séquents par focalisation, une notion introduite par Andreoli comme une technique améliorant la recherche de preuves en logique linéaire. Une autre notion qui joue un rôle clé dans notre étude est la polarisation. L'idée est que les polarités des connecteurs logiques en logique intuitionniste (et en logique classique) sont souvent ambiguës, contrairement à la logique linéaire. Une polarité positive ou négative peut donc être attribuée arbitrairement à certains connecteurs et même à des atomes dans un séquent. Ce choix de polariser des connecteurs et des atomes n'a aucun impact sur la prouvabilité d'un séquent mais peut induire des preuves de formes différentes. C'est grâce à cet aspect que nous concevons différentes représentations syntaxiques utilisant des polarisations spécifiques. En utilisant le système de preuve focalisé LJF de Liang et Miller, nous définissons deux syntaxes différentes, à savoir la syntaxe négatif et la syntaxe positive, en considérant les deux polarisations uniformes. La syntaxe négative est la syntaxe arborescente habituelle dans laquelle le partage n'est pas possible alors que la syntaxe positive permet le partage dans un terme via (une forme restreinte) de substitutions explicites. Dans le contexte des lambda-termes non-typés, ces deux syntaxes correspondent respectivement aux lambda-termes négatifs, c'est-à-dire aux lambda-termes usuels, et aux lambda-termes positifs.Nous nous concentrons ensuite sur les lambda-termes positifs et définissons le lambda-calcul positif, un lambda-calcul par valeur avec des substitutions explicites. Nous montrons que, grâce à sa compacité, le lambda-calcul positif capture de manière surprenante l'essence du partage utile, une notion de réduction en termes de partage introduite par Accattoli et Dal Lago pour étudier les modèles de coûts raisonnables du lambda-calcul.

This thesis focuses on the design of terms and the structure of proofs. Generally speaking, a term can denote any syntactic structure, including sentences, programs, mathematical proofs, etc. A notion of sharing, made possible by naming and referencing terms, is essential in many settings. The goal of this thesis is to propose an appropriate syntax that is both expressive and compact and allows a mechanism of sharing. This is where structural proof theory comes in. Structural proof theory, as its name suggests, puts its emphasis on the structure of mathematical proofs. In structural proof theory, proof systems are used to describe how proofs can be constructed. Often, for various purposes, different proof systems are proposed for the same underlying logic. In this thesis, we focus on (the implicational fragment of) intuitionistic logic and base our study on focused proof systems, systems that ''refine'' sequent calculi by focalization, a notion introduced by Andreoli as a technique improving proof research in linear logic. Another notion that plays a key role in our study is polarization. The idea is that the polarities of logical connectives in intuitionistic logic (and classical logic) are often ambiguous, unlike in linear logic. Positive or negative polarity can therefore be arbitrarily assigned to some connectives and even to atoms in a sequent. This choice of polarizing connectives and atoms has no impact on the provability of a sequent but can induce proofs of different forms. It is thanks to this aspect that we design different syntactic representations using specific polarizations. By using Liang and Miller's focused proof system LJF, we define two different syntaxes, namely the negative bias syntax (or simply negative syntax) and the positive bias syntax (or simply positive syntax), by considering the two opposing uniform polarizations. The negative syntax is the usual tree-like syntax in which sharing is not possible while the positive syntax allows sharing within a term via (a restricted form) of explicit substitutions. In the context of untyped lambda-terms, these two syntaxes correspond to, negative lambda-terms, that is, the usual lambda-terms, and positive lambda-terms, respectively. We then put our focus on the positive lambda-terms and define the positive lambda-calculus, a call-by-value lambda-calculus with explicit substitutions. We show that, thanks to its compactness, the positive lambda-calculus surprisingly captures the essence of useful sharing, a notion of reduction on terms with sharing introduced by Accattoli and Dal Lago to study reasonable cost models of the lambda-calculus.