Sur la norme stable des surfaces plates

On the stable norm of flat surfaces

• Auteur / Autrice : Pablo Montealegre
• Direction : Daniel Massart, Ivan Babenko
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 16/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre.
• Jury : Président / Présidente : Greg Mcshane
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Massart, Vincent Delecroix, Barbara Schapira, Erwan Lanneau, Constantin Vernicos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Delecroix, Greg Mcshane

Mots clés

Mots clés libres

Norme stable

Suite de Farey

Surfaces de translation

Comptage de courbes

Séries de Dirichlet

Surfaces de demi-translation

Stable norm

Farey sequence

Translation surfaces

Curve counting

Dirichlet series

Half-translation surfaces

Résumé

La norme stable des variétés riemanniennes singulières est une norme définie sur le premier groupe d'homologie de la variété, et qui étend aux classes d'homologie la notion de longueur des courbes. Il est connu qu'une grande quantité d'information géométrique sur la variété est encodée par sa norme stable: mais pour accéder à cette information, il faut d'abord être capable de calculer la norme stable elle-même. C'est un problème difficile pour lequel très peu d'exemples sont connus. L'objet de cette thèse est le calcul de nouveaux exemples de surfaces sur lesquelles la norme stable peut être calculée. Dans une première partie, nous calculons la norme stable des tores plats fendus. Dans une seconde partie, nous recollons des tores fendus à des cylindres plats pour construire des surfaces de demi-translation sur lesquelles la norme stable peut être calculée. Dans une troisième partie, nous montrons que, pour un certain problème de comptage lié à la norme stable, les surfaces construites dans la partie précédente présentent un comportent qualitativement différent des exemples connus jusqu'alors. Enfin, dans une quatrième partie, nous présentons des résultats mineurs et expériences numériques sur la norme stable d'une surface de translation particulière.

The stable norm of a (possibly singular) Riemannian manifold is a norm defined on the first homology group of the manifold, that extends to homology classes the notion of lengths of curves. It is known that a lot of geometric information on the manifold is encoded by the stable norm. But to access this information, one must first be able to compute the stable norm itself. This is a difficult problem for which very few examples are known. The object of this thesis is the computation of the stable norm on new examples of surfaces. In a first part, we compute the stable norm of flat slit tori. In a second part, we glue these slit tori to flat cylinders in order to construct half-translation surfaces on which the stable norm can be computed. In a third part we prove that, regarding a counting problem related to the stable norm, the surfaces we constructed in the previous part exhibit qualitatively different behaviour than what was previously known. Finally, in a fourth part we give some partial results and numerical experiments related to the stable norm of a specific translation surface.