Modélisation mathématique de la migration des nitrates dans les eaux souterraines

Mathematical modeling of nitrate migration in groundwater

• Auteur / Autrice : Rawaa Awada
• Direction : Carole Rosier, Jérôme Carrayrou
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 19/12/2024
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences, Technologie, Santé
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph LIOUVILLE
• Jury : Président / Présidente : Philippe Ackerer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Carole Rosier, Jérôme Carrayrou, Christophe Bourel, Catherine Choquet, Brahim Amaziane
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Catherine Choquet, Brahim Amaziane

Mots clés

Mots clés libres

Transport reactif

Equilibre thermodynamique

Modélisation des écoulements souterrains

Méthode d'accélération d’Anderson

Equation de Richards

Simulations numériques

Reactive transport

Thermodynamic equilibrium

Groundwater flow modeling

Anderson acceleration method

Richards equation

Numerical simulations

Résumé

L’objectif de cette thèse est de fournir des modèles efficaces pour étudier la vulnérabilité des aquifères face à la pollution agricole, avec un accent particulier sur la contribution des nitrates. Dans la première partie de la thèse, nous nous concentrons sur l’amélioration des méthodes numériques pour résoudre des systèmes d’équations algébriques non-linéaires, principalement dans le cadre de la modélisation chimique. Bien que la méthode de Newton-Raphson soit couramment utilisée, ses limites, principalement liées à la gestion de la matrice jacobienne (et de son mauvais conditionnement), ont conduit à l’exploration d’une méthode itérative plus flexible, telle que la méthode d’accélération d’Anderson AA(m) où m désigne la profondeur de la méthode. Dans un premier temps, nous prouvons que les méthodes d’Anderson AA(1) de type I et de type II sont localement q-linéairement convergentes dès que la constante de Lipschitz de l’application du point fixe est suffisamment petite. Nous illustrons l’efficacité de la méthode en l’appliquant à la résolution des équilibres chimiques, cas test identifié comme étant difficile en raison de la forte non-linéarité du système chimique et de la raideur des phénomènes de transport. Plus précisément, nous combinons la méthode d’accélération d’Anderson à une formulation particulière du système d’équilibre, appelée méthode des fractions continues positives (généralement utilisée comme pré-conditionneur). Cette approche est validée par des simulations numériques issues du ''Test GDR Momas easy 1D''. Elle permet d’améliorer considérablement la robustesse des algorithmes de résolution des équilibres chimiques, d’autant plus qu’elle est couplée à une stratégie de suivi de la profondeur ''m'' afin de contrôler le conditionnement des matrices itératives résultant des problèmes des moindres carrés, garantissant ainsi la stabilité numérique de l’algorithme. Dans la seconde partie de la thèse, nous intégrons le précédent solveur chimique à un modèle de transport réactif en milieu souterrain. L’écoulement est décrit par un nouveau modèle découplant les processus d’infiltration (principalement verticaux) des processus de transfert d’eau dans l’aquifère (principalement horizontaux). L’aquifère 3D est alors décrit comme un aquifère 2D (hypothèse de Dupuit-Forcheimer) alimenté par un réseau de colonnes d’infiltration, indépendantes les unes des autres, décrites par une équation de Richards 1D. L’objectif de cette partie consiste à étendre cette approche au cas du transport des nitrates en intégrant dans un premier temps une méthode de zonage biochimique permettant de travailler localement sur des ensembles restreints d’espèces chimiques et ainsi de s’affranchir des contrastes d’échelle. L’algorithme de résolution des équilibres chimiques est intégré à chaque étape, couplant les réactions chimiques au transport de l’eau. Une analyse asymptotique formelle du modèle complet de transport réactif nous permet de justifier notre approche d’un point de vue mathématique. Nous concluons cette étude en présentant des simulations numériques dans un contexte réaliste de dispersion des nitrates dans l’environnement souterrain.

The objective of this thesis is to provide effective models to study the vulnerability of aquifers to agricultural pollution, with a particular emphasis on the contribution of nitrates. In the first part of the thesis, we focus on improving numerical methods to solve systems of nonlinear algebraic equations, mainly in the context of chemical modeling. Although the Newton-Raphson method is commonly used, its limitations, mainly linked to the management of the Jacobian matrix (and its poor conditioning), have led to the exploration of a more flexible iterative method, such as the method of Anderson acceleration AA(m) where m denotes the depth of the method. First, we prove that the type I and type II Anderson AA(1) methods are locally q-linearly convergent as soon as the Lipschitz constant of the fixed point application is sufficiently small. We illustrate the effectiveness of the method by applying it to the resolution of chemical equilibria, a test case identified as being difficult due to the strong nonlinearity of the chemical system and the stiffness of the transport phenomena. Specifically, we combine Anderson’s acceleration method with a particular formulation of the equilibrium system, called the method of positive continued fractions (usually used as a preconditioner). This approach is validated by numerical simulations from the ''GDR Momas easy 1D Test''. It makes it possible to considerably improve the robustness of algorithms for resolving chemical equilibria, especially as it is coupled with a strategy to monitor the depth of the Anderson acceleration method in order to control the conditioning of the iterative matrices resulting from least squares problems, thus guaranteeing the numerical stability of the algorithm. In the second part of the thesis, we integrate the previous chemical solver into a reactive transport model in an underground environment. The flow is described by a new model decoupling infiltration processes (mainly vertical) from water transfer processes in the aquifer (mainly horizontal). The 3D aquifer is then described as a 2D aquifer (Dupuit-Forcheimer hypothesis) supplied by a network of infiltration columns, independent of each other, described by a Richards 1D equation. The objective of this part is to extend this approach to the case of nitrate transport by initially integrating a biochemical zoning method making it possible to work locally on restricted sets of chemical species and thus to overcome the contrasts of ladder. The chemical equilibria resolution algorithm is integrated into each step, coupling chemical reactions to water transport. A formal asymptotic analysis of the complete reactive transport model allows us to justify our approach from a mathematical point of view. We conclude this study by presenting numerical simulations in a realistic context of nitrate dispersion in the underground environment.