Études d'équations à noyaux non-locaux périodiques en temps et d'ondes progressives

Studies of Equations with Nonlocal Kernels Periodic in Time and Traveling Waves

• Auteur / Autrice : Adil El abdouni
• Direction : Pierre Gabriel
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse et équations aux dérivées partielles (LMV)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Dumas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Magali Tournus, Jérôme Coville, Thomas Lepoutre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jérôme Coville, Bertrand Lods

Mots clés

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles non-locales

Comportement en temps grand

Modèles de mutation-sélection

Modèles de croissance-fragmentation

Ondes progressives

Non-local partial differential equations

Long time behavior

Mutation-selection models

Growth-fragmentation models

Traveling Waves

Résumé

L'objectif de la thèse est de développer des méthodes mathématiques permettant d'analyser certaines équations aux dérivées partielles (EDP) non-locales qui apparaissent en théorie de l'évolution Darwinienne. Les outils mathématiques qui sont mis en place reposent sur deux approches: une approche spectrale qui généralise le théorème de Krein-Rutman, et une approche utilisant des méthodes d'ergodicité des semi-groupes positifs. Ces méthodes d'ergodicité sont des adaptations et extensions des arguments de Doeblin et Harris pour les chaînes de Markov à des semi-groupes non-conservatifs. Ces deux approches nous permettent en particulier d'étudier des problèmes inhomogènes en temps, lorsque l'environnement évolue de manière périodique. Les nouveautés qui ont été étudiées au cours de la thèse concernent l'extension des méthodes de contraction à la Harris et des méthodes spectrales au cadre inhomogène périodique, et l'application des résultats généraux abstraits à des équations de transport avec termes intégraux. Une dernière partie sera consacrée à la propagation spatiale de la bactérie Myxococcus xanthus. Il a été démontré que les biofilms de bactéries Myxococcus xanthus sont structurés en amas de tailles variées, qui, de manière remarquable, tendent à se déplacer plus rapidement lorsqu'ils contiennent un plus grand nombre de bactéries. Nous présentons des preuves numériques de l'existence d'un seuil caractéristique θ∗ du rapport entre la motilité des amas et celle des bactéries isolées, qui sépare deux régimes distincts de vitesse de propagation.

The objective of the thesis is to develop mathematical methods to analyze certain non-local partial differential equations (PDEs) that appear in Darwinian evolution theory. The mathematical tools that are implemented rely on two approaches: a spectral approach that generalizes the Krein-Rutman theorem, and an approach using ergodic methods for positive semigroups. These ergodic methods are adaptations and extensions of Doeblin and Harris arguments for Markov chains to non-conservative semigroups. These two approaches allow us, in particular, to study inhomogeneous problems in time, when the environment evolves periodically. The novelties studied during the thesis concern the extension of Harris-like contraction methods and spectral methods to the periodic inhomogeneous framework, and the application of general abstract results to transport equations with integral terms. A final part will be devoted to the spatial propagation of the bacterium Myxococcus xanthus. It has been demonstrated that Myxococcus xanthus bacterial biofilms are structured into clusters of varying sizes, which, remarkably, tend to move faster when they contain a larger number of bacteria. We present numerical evidence of the existence of a characteristic threshold θ∗ of the ratio between the motility of the clusters and that of isolated bacteria, which separates two distinct regimes of propagation speed.