Thèse en cours

Optimisation spectrale de formes sans énergie d'interface
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Triangle exclamation pleinLa soutenance a eu lieu en 2023. Le document qui a justifié du diplôme est en cours de traitement par l'établissement de soutenance.
Auteur / Autrice : Eloi Martinet
Direction : Dorin BucurEdouard Oudet
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
Date : Soutenance en 2023
Etablissement(s) : Chambéry
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques
Jury : Président / Présidente : Eric Bonnetier
Examinateurs / Examinatrices : Dorin Bucur, Zakaria Belhachmi, Ilaria Lucardesi, Yannick Privat, Edouard Oudet
Rapporteurs / Rapporteuses : Zakaria Belhachmi, Yannick Privat

Mots clés

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Résumé

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Dans ce manuscrit, nous allons traiter de problèmes d'optimisation des valeurs propres du laplacien sous contrainte de volume. Dans la suite, Ω sera un ouvert borné de Sn ou Rn vérifiant certaines hypothèses de régularité dont on note |Ω| le volume. On dit que μ est une valeur pro- pre du laplacien avec conditions de Neumann s'il existe une fonction u ∈ H1 (Ω) {0} appelée fonction propre telle que −∆u = μu dans Ω, ∂ν u = 0 sur ∂ Ω où ∆ représente l'opérateur de Laplace (resp. Laplace-Beltrami) de R (resp. S ) et ∂ν u est la dérivée normale au bord e Ω. Prenant en compte les multiplicités, les valeurs propres d'un tel problème forment une suite vérifiant 0 = μ0 (Ω) ≤ μ1 (Ω) ≤ ... ≤ μk (Ω) ≤ ... → ∞. Un problème voisin est le problème aux valeurs propres avec conditions de Dirichlet −∆u = λ u dans Ω, u = 0 sur ∂ Ω qui lui aussi admet un spectre de valeurs propres 0 < λ1 (Ω) ≤ λ2 (Ω) ≤ ... ≤ λk (Ω) ≤ ... → ∞. On s'intéressera principalement à la maximisation des valeurs propres avec conditions de Neumann. Formellement, les problèmes considérés sont de la forme max μk (Ω), |Ω|=m où m > 0 et Ω ⊆ Rn ou Ω ⊆ Sn. Les problèmes d'optimisation de formes impliquant la solution d'équations aux dérivées par- tielles avec conditions de Neumann apparaissent naturellement dans différents modèles mathéma- tiques allant de la mécanique des structures à l'analyse d'image en passant par la biologie, etc. L'analyse mathématique de tels problèmes est, en général, une tâche complexe dûe à l'absence d'une énergie de bord venant contrôler les interactions entre la géométrie de la forme et la solution de l'équation aux dérivées partielles. En effet, contrairement aux conditions de Robin qui possè- dent une telle énergie, son absence dans le cas de Neumann soulève de sérieuses difficultés. Dans certaines situations (par exemple les modèles de propagation de fissures ou l'étude de la fonction- nelle de Mumford-Shah), une pénalisation de la longueur du bord est naturellement présente et vient régulariser le problème, ce qui n'est pas le cas pour le problème de Neumann. L'objectif de cette thèse est l'étude des questions théoriques liées à ces problèmes grâce au support de simulations numériques.