Rigidités et médianes

Rigidity and medians

• Auteur / Autrice : Hermès Lajoinie-Dodel
• Direction : Thomas Haettel
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2021
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Information, Structures, Systèmes
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre.

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie des groupes

Propriété (T)

Rigidité

Espaces grossièrement médians

Hyperbolique

Groupe relativement hyperboliques

Coarse median spaces

Hyperbolic

Property (T)

Rigidity

Geometric group theory

Relatively hyperbolic groups

Résumé

Certains groupes, comme SL(n;Z) pour n>2, vérifient la propriété (T) de Kazhdan: l'une des caractérisations est que toute action par isométries affines sur un espace de Hilbert a un point fixe. Une autre caractérisation est que toute action sur un espace métrique médian a des orbites bornées. Des exemples d'espaces métriques médians sont fournis par les complexes cubiques CAT(0), en particulier les arbres. Cependant, ce résultat ne s'étend pas si l'on considère des espaces métriques Gromov-hyperboliques, qui sont une généralisation naturelle des arbres : par exemple, les réseaux uniformes de Sp(n; 1) ont la propriété (T) de Kazhdan. Vincent Lafforgue a défini un renforcement de la propriété (T) qui implique un résultat de point fixe pour des actions affines sur des espaces de Hilbert non plus isométriques, mais dont la croissance de la norme d'opérateur est sous-exponentielle. De plus, Lafforgue, de Laat et de la Salle ont montré que tous les réseaux de rang supérieur ont cette propriété (T) renforcée. Lafforgue a également montré le résultat suivant, qui met en évidence le fait que les réseaux de rang supérieur sont beaucoup plus rigides que les groupes ayant seulement la propriété (T) de Kazhdan. Théorème 1 (Lafforgue). Soit G un groupe ayant la propriété (T) renforcée. Toute action de G par isométries sur un graphe Gromov-hyperbolique de valence bornée a une orbite bornée. De plus, la propriété (T) renforcée est à l'origine de progrès récents et spectaculaires concernant le programme de Zimmer, qui vise à comprendre les actions de réseaux de rang supérieur sur des variétés. Voici l'un des résultats que Brown, Fisher et Hurtado ont montré à l'aide de la propriété (T) renforcée. Théorème 2 (Brown, Fisher, Hurtado) Si G est un réseau cocompact de SL(n;R), n>2, alors toute action de G par difféomorphismes sur une variété compacte de dimension inférieure à n -1 factorise par un groupe fini. En utilisant d'autres méthodes, Thomas Haettel a montré que toute action d'un réseau de rang supérieur sur un graphe hyperbolique est élémentaire. Le premier objectif de la thèse est d'étudier dans quelle mesure le résultat de Lafforgue se généralise à d'autres espaces métriques que les graphes hyperboliques de valence bornée, notamment les espaces grossièrement médians introduits par Bowditch. Une autre piste intéressante pour l'étude de rigidités d'actions de réseaux de rang supérieur sur des espaces grossièrement médians repose sur l'étude de marches aléatoires sur les espaces grossièrement médians, par exemple en réussissant à leur définir un bord pertinent.

Certain groups, like SL(n;Z) for n>2, satisfy Kazhdan's Property (T): one characterization is that any action by affine isometries on a Hilbert space has a fixed point. Another characterization is that every action on a median metric space has bounded orbits. Examples of median metric spaces are CAT(0) cube complexes, and in particular trees. However, this result does extend to arbitrary Gromov-hyperbolic spaces, which are a natural generalization of trees. For instance, uniform lattices in Sp(n; 1) have Kazhdan's Property (T). Vincent Lafforgue has defined a strengthening of Property (T) which implies a fixed point result for affine actions on Hilbert spaces which are not necessarily isometric, but whose operator norm growth is subexponential. Moreover, Lafforgue, de Laat and de la Salle have proved that all higher rank lattices satisfy this strong Property (T). Lafforgue also proved the following result, which emphasizes the fact that higher rank lattices are much more rigid than groups satisfying only Kazhdan's Property (T). Theorem 1 (Lafforgue) Let G be a group with the strong Property (T). Any action of G by isometries on a bounded valency Gromov-hyperbolic graph has a bounded orbit. Moreover, the strong Property (T) helped recent and spectacular progress towards Zimmer's program, which aims at understanding action of higher rank lattices on manifolds. Here is one of the results that Brown, Fisher and Hurtado have proved, using the strong Property (T). Theorem 2 (Brown, Fisher, Hurtado) Let G be a cocompact lattice in SL(n;R) with n > 2, then every action of G by diffeomoprhisms on a closed manifold with dimension less than n- 1 factorizes through a finite group. Using other methods, Thomas Haettel has proved that every action of a higher rank lattice on any Gromov-hyperbolic graph is elementary. The first objective of the thesis is to study to what extent one can generalize Lafforgue's result to other metric spaces than bounded valency hyperbolic graph, notably coarse median spaces introduced by Bowditch. Another interesting strategy in the study of rigidity of actions of higher rank lattices on coarse median spaces rely on random walks on coarse median spaces, for instance by defining an appropriate boundary.