Groupes relativement hyperboliques : géométrie et rigidité.

Relatively hyperbolic groups: geometry and rigidity.

• Auteur / Autrice : Hermès Lajoinie
• Direction : Thomas Haettel
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 23/06/2025
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Information, Structures, Systèmes
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre.
• Jury : Président / Présidente : François Dahmani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Haettel, Rémi Coulon, Indira Chatterji, Moulay Benameur, Mikael De la salle
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rémi Coulon, Mikael De la salle

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie des groupes

Groupe relativement hyperboliques

Rigidité

Propriété (T). Propriété (T) renforcée

Bollicité forte

Hyperbolicité et généralisations

Geometric group theory

Relatively hyperbolic groups

Rigidity

Property (T). strong Property (T)

Strong bolicity

Perbolicity and generalization

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à différentes propriétés d'une classe de groupes de type fini agissant sur des espaces à courbure négative. Cette famille de groupes définie par Gromov en 1987, généralise la géométrie des groupes hyperboliques à une plus grande classe de groupes. L'idée schématique est la suivante : G est hyperbolique relativement à un sous-groupe H si la géométrie de G est hyperbolique à l'extérieur de H et de ses translatés. Notre étude est motivée par deux questions. La première est liée à des questions de rigidité d'actions sur des espaces de Hilbert et notamment la Propriété (T) renforcée, définie par Vincent Lafforgue en 2007. Pour tout groupe relativement hyperbolique, nous construisons une représentation polynomiale de degré 2 sans-point fixe, ce qui prouve que ces groupes n'ont pas la Propriété (T) renforcée. La deuxième porte sur la construction d'une métrique fortement bolique pour les groupes hyperboliques relativement à des sous-groupes virtuellement abélien. L'intérêt de cette notion est un théorème de Vincent Lafforgue : couplée avec la propriété (RD), elle implique la conjecture de Baum-Connes.

In this thesis, we investigate various properties of a class of finitely generated groups acting on negatively curved spaces. This family of groups, introduced by Gromov in 1987, generalizes the geometry of hyperbolic groups to a broader class of groups. The rough idea is the following: a group G is hyperbolic relative to a subgroup H if the geometry of G is hyperbolic outside of H and its translates. Our study is motivated by two main questions. The first concerns rigidity phenomena for group actions on Hilbert spaces, in particular the strong Property (T), introduced by Vincent Lafforgue in 2007. For every relatively hyperbolic group, we construct a representation of degree 2 polynomial growth without fixed point, which shows that these groups do not have the strongProperty (T). The second question deals with the construction of a strongly bolic metric for groups that are hyperbolic relative to virtually abelian subgroups. This notion plays a key role in a theorem by Vincent Lafforgue: combined with the Rapid Decay property (RD), it yields the Baum–Connes conjecture.