Thèse en cours

Une équation de Schrödinger non-linéaire issue du système de Calogero-Sutherland.
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Auteur / Autrice : Rana Badreddine
Direction : Patrick Gérard
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
référent : Faculté des sciences d'Orsay

Résumé

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Il s'agit d'étudier une EDP obtenue par A. Abanov et al (J. Phys. A, 2009) à partir de la limite hydrodynamique du système hamiltonien de Calogero-Sutherland. On obtient une équation intégrable de type Schrödinger non linéaire sur l'espace de Hardy qui se trouve posséder une paire de Lax sur la droite et sur le cercle. Le but de cette thèse est d'utiliser la structure d'intégrabilité afin d'établir que l'équation est globalement bien-posée sur le cercle en allant jusqu'à l'espace de régularité critique. En second lieu, on s'intéresse à l'existence de solutions particulières. Ainsi, on caractérise les ondes progressives de cette équation, ainsi qu'une classe de solutions s'écrivant sous la forme de fractions rationnelles et qui sont définies spectralement à partir de l'opérateur de Lax. En troisième lieu, on étudie la limite à faible-dispersion de cette équation et on caractérise ses solutions grâce à une formule explicite.