Problème d'optimisation avec des coefficients objectifs incertains en utilisant des fonctions de croyance et des probabilités inférieures

Optimization problem with uncertain objective coefficients using belief functions and lower probabilities

• Auteur / Autrice : Tuan Anh Vu
• Direction : Frédéric Pichon, Eric Lefevre
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Génie Informatique et Automatique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 05/12/2024
• Etablissement(s) : Artois
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences, Technologie, Santé
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LGI2A - Laboratoire de Génie Informatique et d'Automatique de l'Artois
• Jury : Président / Présidente : Sébastien Destercke
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Pichon, Éric Lefevre, Thierry Denoeux, Pawel Zielinski, Hélène Fargier, Sohaib Afifi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Thierry Denoeux, Pawel Zielinski

Mots clés

Mots clés libres

Fonction de croyance

Probabilité inférieure

Prise de décision

Optimisation sous incertitude

Optimisation combinatoire

Optimisation convexe

Belief function

Lower probability

Decision making

Optimization under uncertainty

Combinatorial optimization

Convex optimization

Résumé

Nous étudions un problème d'optimisation général dans lequel les coefficients de l'objectif sont incertains, en nous concentrant sur des cas d'incertitude emph{sévère}, c'est-à-dire lorsque l'utilisation d'une seule mesure de probabilité est insuffisante comme modèle d'incertitude. Nous utilisons donc des cadres plus généraux, à savoir les fonctions de croyance et les probabilités inférieures (capacités), qui permettent l'application des critères courants dans la littérature pour sélectionner des solutions non dominées. Lorsque l'incertitude est modélisée par une fonction de croyance dont les ensembles focaux sont des produits cartésiens d'ensembles compacts, nous fournissons des caractérisations des solutions non dominées selon les critères de Hurwicz généralisé, de dominance forte, de dominance faible, de maximalité et d'E-admissibilité. Lorsque l'incertitude est modélisée par une probabilité inférieure sur un cadre fini, nous fournissons des caractérisations des solutions non dominées selon les critères de maximalité et d'E-admissibilité. Toutes ces caractérisations correspondent à des notions établies en optimisation. De plus, elles permettent de dériver plusieurs résultats intéressants, notamment l'efficacité de la recherche de solutions non dominées ou l'équivalence de la maximalité et de l'E-admissibilité dans de nombreuses situations. Enfin, pour le critère de regret min-max généralisé sous ces deux modèles d'incertitude, nous développons des méthodes d'approximation étendant les méthodes du point milieu bien connues, utilisées dans l'optimisation robuste du regret min-max avec des données intervalle et discrètes.

We study a general optimization problem in which the coefficients in the objective are uncertain, focusing on cases of emph{severe} uncertainty, i.e., when a single probability measure is inadequate as an uncertainty model. Therefore, we use more general frameworks, namely belief functions and lower probabilities (capacities), which enable the application of common criteria in the literature to select non-dominated solutions. When the uncertainty is modeled by a belief function whose focal sets are Cartesian products of compact sets, we provide characterizations of the non-dominated solutions of the generalized Hurwicz, strong dominance, weak dominance, maximality, and E-admissibility criteria. When the uncertainty is modeled by a lower probability on a finite frame, we provide characterizations of the non-dominated solutions of maximality and E-admissibility. All these characterizations correspond to established notions in optimization. Furthermore, they make it possible to derive several interesting results, notably the efficiency of finding non-dominated solutions or the equivalence of maximality and E-admissibility, in many situations. Lastly, for the generalized min-max regret criterion under these two uncertainty models, we develop approximation methods extending the well-known midpoint methods used in robust min-max regret optimization with interval and discrete data.