Récurrences des sous-variétés lagrangiennes et des solutions de viscosité sous des actions symplectiques qui dévient la verticale

Recurrence of Lagrangian submanifolds and viscosity solutions under symplectic actions that deviate the vertical.

• Auteur / Autrice : Skander Charfi
• Direction : Marie-Claude Arnaud, Jacques Féjoz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/03/2025
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Claude Viterbo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nalini Anantharaman, Albert Fathi, Anna Florio
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ludovic Rifford, Ke Zhang
• DOI : 10.70675/edab380dz67d5z48e0za067zecd0197a2c46

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Hamilton-Jacobi

Solutions de viscosité

Théorème KAM

Fonctions génératrices

Variétés symplectiques

Mots clés libres

Équation de Hamilton-Jacobi

Solutions de viscosité

Théorie KAM-Faible

Théorie d'Aubry-Mather

Semi-Groupe de Lax-Oleinik

Fonctions génératrices

Sous-Variétés lagrangiennes

Hamilton-Jacobi Equaton

Viscosity Solutions

Weak-KAM Theory

Aubry-Mather Theory

Lax-Oleinik Semigroup

Generating Functions

Lagrangian Submanifolds

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le comportement asymptotique du semi-groupe de Lax-Oleinik et ses implications sur les solutions de viscosité récurrentes de l'équation de Hamilton-Jacobi. Nous mettons en évidence que ces solutions récurrentes préservent des propriétés analogues à celles des solutions 1-périodiques, appelées solutions KAM faibles. Dans un premier temps, nous analysons l'ensemble non-errant du semi-groupe, que nous le décrivons à l'aide d'une formule de représentation analogue à celle connue pour les solutions KAM faibles. Ensuite, nous construisons un Hamiltonien dont l'équation de Hamilton-Jacobi admet une solution de viscosité récurrente, régulière mais non périodique. Enfin, nous proposons une version récurrente du théorème de Birkhoff multidimensionnel, montrant qu'une sous-variété lagrangienne récurrente, sous une topologie dite à complexité réduite, sous l'action d'un flot hamiltonien de Tonelli, est le graphe de la différentielle d'une solution de viscosité récurrente.

In this PhD thesis, we study the asymptotic behavior of the Lax-Oleinik semigroup and its implications for recurrent viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equation. We highlight that these recurrent solutions preserve properties similar to those of 1-periodic solutions, known as weak KAM solutions. First, we analyze the non-wandering set of the semigroup, describing it through a representation formula analogous to that known for weak KAM solutions. Next, we explicitly construct a Hamiltonian whose Hamilton-Jacobi equation admits a recurrent, regular but non-periodic viscosity solution. Finally, we propose a recurrent version of the multidimensional Birkhoff theorem, showing that a recurrent Lagrangian submanifold, for some topology of convergence, under the action of a Tonelli Hamiltonian flow, is the graph of the differential of a recurrent viscosity solution.