Sur l'étude de mesures aléatoires issues de processus gaussiens

On the study of some random measures obtained from Gaussian fields and point processes

• Auteur / Autrice : Loic Thomassey
• Direction : Raphael Lachieze rey
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathematiques appliquees ed 386
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 09/12/2025
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giovanni Peccati, Anne Estrade, Nathanael Enriquez, Guillaume Poly, Hermine Biermé, Raphael Lachieze rey
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Poly, Hermine Biermé

Mots clés

Mots clés libres

Processus ponctuels

Mesure de Palm

Processus gaussien

Stationnarité

Accroissements stationnaires

Point processes

Palm measures

Gaussian processes

Stationarity

Stationary increments

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines mesures aléatoires et processus ponctuels issus de champs gaussiens, et de leurs caractéristiques de presque-périodicité, rigidité, et hyperuniformité. Ces deux dernières notions constituent le cœur de ce travail et nous prenons le temps de les définir rapidement dans cette introduction. L'hyperuniformité est une caractéristique commune à de nombreux systèmes biologiques et physiques, allant de l'organisation des atomes dans une cellule à la distribution des astres dans le cosmos. Elle tire son origine du principe de moindre action, qui stipule qu'un système physique privilégie au repos une position d'équilibre stable. Contrairement à ce que l'intuition laisserait présager, ces configurations stables peuvent apparaître localement désordonnées, mais à l'échelle macroscopique, elles exhibent une certaine régularité, qui induit un phénomène d'hyperuniformité commun à de nombreux systèmes physiques. La rigidité est quant à elle une notion purement mathématique, et elle consiste à se demander si, partant d'un système de particules partiellement observé, il est possible de recouvrir des informations sur la partie inobservée du processus. Par informations, nous entendons le nombre exact de points inobservés, leur centre de masse, voire leur localisation exacte, ... L'hyperuniformité et la rigidité ne sont pas des notions orthogonales, et il a été démontré que de nombreux processus hyperuniformes exhibent une certaine forme de rigidité, tout du moins en petite dimension. Ce lien est d'autant plus surprenant qu'il n'existe en vérité que très peu de méthodes systématiques permettant d'étudier la rigidité d'un système de particules. Dans ce travail, nous nous proposons de poursuivre cette étude. Le premier sujet traité dans cette thèse concerne les lignes nodales d'ondes gaussiennes, dont on sait qu'elles subissent un phénomène d'annulation de la variance, réminiscent de l'hyperuniformité, de même qu'un phénomène de full corrélation. On montre que ce dernier est en fait lié à une presque-périodicité induite par la structure arithmétique du tore dont on estime les pseudo-périodes optimales. Dans le chapitre suivant nous quittons le domaine des ensembles nodaux et traitons le problème de la génération d'échantillons aléatoires à partir de champs aléatoires. Dans ce but, nous introduisons une nouvelle procédure permettant de générer des mesures stationnaires via une perturbation de leur mesure de Palm. L'étude de ce modèle se poursuit dans le chapitre 5, où notre intérêt se porte sur les propriétés d'hyperuniformité de ces processus perturbés.

This thesis is devoted to the study of certain random measures and point processes arising from Gaussian fields, with a focus on their properties of almost-periodicity, rigidity, and hyperuniformity. The latter two notions form the core of this work, and we take the time to briefly define them in this introduction. Hyperuniformity is a characteristic common to a wide range of biological and physical systems, ranging from the organisation of atoms in a cell to the distribution of stars in the cosmos. It originates from the principle of least action, which states that a physical system tends to prefer a stable equilibrium when at rest. Contrary to what intuition might suggest, these stable configurations can appear locally disordered, but at the macroscopic scale, they exhibit a certain regularity, a regularity that leads to a phenomenon of hyperuniformity common to many physical systems. As for rigidity, it is a purely mathematical concept, and it involves asking whether, starting from a partially observed system of particles, it is possible to recover information about the unobserved part of the process. By information, we mean the exact number of hidden points, their centre of mass, or even their exact distribution, ...Hyperuniformity and rigidity are not orthogonal concepts, and it has been shown that many hyperuniform processes exhibit a certain form of rigidity, at least in low dimensions. This link between hyperuniformity and rigidity is all the more surprising given that there are very few systematic methods available to study the rigidity of a particle system. In this thesis, we continue the study of these two phenomena. The first topic addressed in this work is related to the nodal lines of the Arithmetic Gaussian Random Wave. The latter are known to exhibit a variance cancellation reminiscent of hyperuniformity, as well as a phenomenon referred to as full-correlation. We show that the latter is linked with an almost-periodicity induced by the arithmetic structure of the torus. In the subsequent chapters, we move away from nodal sets and turn to the problem of generating disordered samples from random fields. To this end, we introduce a new procedure that enables the generation of stationary measures via a perturbation of their Palm measure. The study of this model is pursued in Chapter 5, where we focus on the hyperuniformity properties of these perturbed Palm processes.