Homogénéisation de couches limites en mécanique des fluides et applications.

Homogenization of boundary layers in fluid mechanics and applications.

• Auteur / Autrice : Moustapha Agne
• Direction : Christophe Prange
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques - EM2PSI
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : CY Cergy Paris Université
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Économie, Management, Mathématiques , Physique et Sciences Informatiques (EM2PSI)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : AGM - Analyse Géometrie Modélisation

Mots clés

Mots clés libres

Homogénéisation

Couche limite

Équations de Navier-Stokes

Loi de paroi

Bord rugueux

Mécanique des fluides

Homogenization

Boundary layer

Navier-Stokes equations

Wall law

Rough boundary

Fluid mechanics

Résumé

Ce projet de thèse porte sur l'étude de la dynamique de fluides au voisinage de bords. Ce sujet est un domaine de recherche actif, aussi bien du point de vue appliqué (aéronautique, météorologie, microfluidique), que de l'hydrodynamique physique (géophysique, étude de la turbulence) ou de l'étude mathématique des Équations aux Dérivées Partielles (EDP). Parmi beaucoup d'enjeux, soulignons-en deux qui intéressent l'ensemble de la communauté ‘fluides' : (i) dérivation des conditions sur le bord adéquates suivant le type de fluide, les propriétés physiques de la surface et sa géométrie, (ii) génération de la turbulence, c'est-à-dire l'étude de la transition d'un régime laminaire à un écoulement turbulent. Ces questions sont encore très mal comprises d'un point de vue mathématique. Une question très étudiée est la suivante : Peut-on remplacer une surface physique très rugueuse à l'échelle microscopique par une surface fictive avec une condition sur le bord moyennée ? Une telle loi est appelée une loi de paroi. Une idée répandue est que les rugosités favorisent le glissement du fluide. Dans certains cas il est possible de démontrer ce fait rigoureusement, ce qui a un impact fort pour la simulation numérique et l'étude de problèmes d'interactions fluides-structures. Le processus de moyennisation des petites échelles pour les EDP est appelé homogénéisation. Les dix dernières années ont connu un développement considérable de l'analyse quantitative de problèmes d'homogénéisation, tant en homogénéisation stochastique, que pour l'homogénéisation de problèmes de couche limite. Ce projet de thèse s'inscrit pleinement dans cette dynamique. D'un point de vue mathématique, on étudie dans cette thèse les problèmes suivants : (Projet 1) Homogénéisation du problème de couche limite pour les équations de Stokes. Le but de ce projet est d'établir un résultat quantitatif pour l'homogénéisation du système de Stokes dans un domaine borné avec une condition au bord de Dirichlet oscillante. On s'attend à ce que l'interaction entre les effets non locaux dûs à la pression, les oscillations à l'échelle microscopique et le bord créent des phénomènes de résonances particulièrement intéressants. (Projet 2) Lois de parois pour des fluides non Newtoniens. Ces fluides sont incompressibles, mais en plus de propriétés visqueuses, ils ont des propriétés élastiques ou plastiques. Le but de ce projet est de dériver une loi de paroi pour des rugosités réalistes dans un cadre stochastique. Il est donc nécessaire d'étudier un problème de couche limite rugueuse non linéaire. (Projet 3) Régularité pour les fluides non stationnaires en domaines rugueux. Il est maintenant bien compris que les rugosités du bord favorisent dans certains régimes le glissement pour des fluides incompressibles visqueux. Le but de ce projet est de montrer un critère de régularité mésoscopique pour des fluides non stationnaires en domaine rugueux.

This thesis project focuses on the study of fluid dynamics in the vicinity of boundaries. This subject is an active field of research, both from an applied point of view (aeronautics, meteorology, microfluidics), from the point of view of physical hydrodynamics (geophysics, study of turbulence) and of the mathematical study of Partial Differential Equations (PDE). Among many issues, let us highlight two that are of interest to the 'fluid' community: (i) derivation of adequate boundary conditions depending on the type of fluid, the physical properties of the surface and its geometry, (ii) generation of turbulence, i.e. the study of the transition from a laminar regime to turbulent flow. These questions are still poorly understood from a mathematical perspective. A well-studied question is: Can we replace a very rough physical surface by a fictitious surface with an effective boundary condition? Such a law is called a wall law. A widespread idea is that roughness favors the sliding of the fluid. In some cases it is possible to prove this fact rigorously, which has a strong impact for numerical simulation and the study of fluid-structure interactions problems. Such small scale averaging process for PDEs is called homogenization. The last ten years have seen considerable development of the quantitative analysis of homogenization problems, both in stochastic homogenization, and for the homogenization of boundary layer problems. This thesis project is fully in line with this dynamic. From a mathematical point of view, we will study the following problems: (Project 1) Homogenization of the boundary layer problem for the Stokes equations. The goal of this project is to establish a quantitative result for the homogenization of the Stokes system in a bounded domain with an oscillating Dirichlet boundary condition. The interplay between nonlocal pressure effects, microscopic scale oscillations and the boundary is expected to create interesting resonance phenomena. (Project 2) Wall laws for non-Newtonian fluids. These fluids are incompressible, but in addition to viscous properties, they have elastic or plastic properties. The aim of this project is to derive a wall law for realistic roughness profiles in a stochastic framework. It is therefore necessary to study a nonlinear rough boundary layer problem. (Project 3) Regularity for non stationary fluids in rough domains. It is now well understood that the roughness of the boundary favors slip for viscous and stationary incompressible fluids in certain regimes. In this project we aim at proving such effects for non stationary fluids. The goal of this project is to show a mesoscopic regularity criterion for non stationary fluids over bumpy boundaries.