Approximation numérique de certaines Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques à terme de dérive singulier

Numerical approximation of some Stochastic Partial Differential Equations with singular drift

• Auteur / Autrice : El mehdi Haress
• Direction : Ludovic Goudenege
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et informatique pour la complexité et les systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2006-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equations aux dérivées partielles et analyses numériques
• Partenaire(s) de recherche : référent : CentraleSupélec (2015-....)

Mots clés

Mots clés libres

Analyse numérique

EDP stochastiques

Dérive singulière

Numerical analysis

Stochastic PDE

Singular drift

Résumé

Le principal objectif de cette thèse est d'établir la convergence de schéma numériques pour des EDP stochastiques (EDPS) avec des dérives singulières $b$, qui peuvent être des fonctions non-lipschitziennes, voire même des distributions. Par exemple, nous pouvons considérer l'équation de la chaleur stochastique begin{equation}label{eq:EDPS} d u_{t} = Delta u_{t} , dt + b(u_{t}), dt + dW_{t} , tag{1} end{equation} où $W$ est un bruit blanc espace-temps. En tant que premier exemple simple, nous étudierons cette équation en dimension 1 d'espace avec un terme de réflexion, qui se traduit par la présence d'un Dirac au point $0$ (c'est-à-dire $b(x) = delta_{0}(x)$). Le caractère bien posé de cette équation a été récemment obtenu dans cite{ABLM}, y compris pour d'autres dérives singulières dans des espaces de Besov. Le schéma aux différences finies pour un schéma d'Euler en temps s'écrit begin{equation}label{eq:Euler} U^{(Delta t)}_{n+1} = S_{Delta t} left( U^{(Delta t)}_{n} + b(U^{(Delta t)}_{n}) Delta t+ Delta W_{n} right), tag{2} end{equation} où $S_{Delta t} = (I - A Delta t)^{-1}$, $A$ est la matrice discrète du Laplacien pour une grille spatiale de maille $Delta x$ et ${U^{(Delta t)}_{n}, , n=0,dots, frac{T}{Delta t}}$ étant l'itéré d'Euler au $n$-ième pas de temps. Comme première étape, l'étudiant travaillera sur les schémas d'Euler tels que celui décrit en éq. eqref{eq:Euler} dans le cas où $b$ est une fonction de régularité höldérienne (voir par exemple les résultats dans cite{KonakovMenozzi} et les références qui y sont données). Puis il étudiera la convergence lorsque $Delta x to 0$ et $Delta t to 0$. Ensuite, une nouvelle approche sera envisagée: elle concernera l'étude des schémas d'Euler pour des EDS multi-dimensionnelles avec des dérives distributions (Besov), en utilisant les techniques de régularisation par le bruit, et les opérateurs de moyennisation cite{CatellierGubinelli}. De tels résultats seraient nouveaux même dans le cas d'EDS en dimension finie. Finalement, l'étudiant étudiera comment les approches précédemment décrites pourront s'étendre au cadre infini-dimensionnel des EDPS, dans le but de montrer la convergence du schéma eqref{eq:Euler} vers la solution de eqref{eq:EDPS}, fournissant de fait des schémas numériques efficaces dans ce contexte. Plus généralement, cette approche pourra potentiellement s'étendre à d'autres EDPS pour fournir des résultats nouveaux d'existence pour des EDPS avec des dérives singulières.

The main aim of this thesis is to establish convergent numerical schemes for SPDEs with irregular drift $b$, which can be a non-Lipschitz function or even a distribution. We will for instance consider the stochastic heat equation: begin{equation}label{eq:EDPS} d u_{t} = Delta u_{t} , dt + b(u_{t}), dt + dW_{t} , tag{1} end{equation} where $W$ is a space-time white noise. As a toy example, we consider this equation in one space dimension with a reflection term, which appears in the equation as a Dirac mass at $0$ ($b(x) = delta_{0}(x)$). The well-posedness of this equation has been proven very recently cite{ABLM}, for more general drifts in some Besov spaces. The corresponding finite difference scheme with Euler approximation in time reads: begin{equation}label{eq:Euler} U^{(Delta t)}_{n+1} = S_{Delta t} left( U^{(Delta t)}_{n} + b(U^{(Delta t)}_{n}) Delta t+ Delta W_{n} right), tag{2} end{equation} where $S_{Delta t} = (I - A Delta t)^{-1}$, $A$ is the discrete Laplacean matrix for a mesh size $Delta x$ in space and ${U^{(Delta t)}_{n}, , n=0,dots, frac{T}{Delta t}}$ is thus a multidimensional Euler scheme. As a first step, the student will work on Euler schemes such as eqref{eq:Euler} in the case where $b$ is a H'older function (see e.g. previous works cite{KonakovMenozzi} and references therein) and will then study the convergence as $Delta x to 0$ and $Delta t to 0$. Then, a new approach will be investigated: it will concern the study of Euler schemes for multidimensional SDEs with distributional (Besov) drifts, using regularisation by noise techniques and averaging operators cite{CatellierGubinelli}. Such results would be new even in the case of finite-dimensional SDEs. Finally, the student will study how the previous approach extends to the infinite-dimensional setting of SPDEs, in order to prove the convergence of eqref{eq:Euler} to eqref{eq:EDPS}, hence providing a good numerical scheme. More broadly, this approach could potentially be extended to other SPDEs and provide new well-posedness results for SPDEs with singular drift.