Comportements en temps long des dynamiques avec des interactions de champ moyen

Long-time behaviors of dynamics with mean field interactions

• Auteur / Autrice : Songbo Wang
• Direction : Nizar Touzi, Zhenjie Ren
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 12/06/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....) - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique / CMAP
• Jury : Président / Présidente : Sylvie Méléard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Zhenjie Ren, François Delarue, Huyên Pham, Pierre Cardaliaguet, Arnaud Guillin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Delarue, Daniel Lacker
• DOI : 10.70675/f864c5ffz4a06z4c7fz8a0az1ab47a4f7535

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du champ moyen

Entropie

Inégalités de Sobolev

Théorie ergodique

Mots clés libres

Comportement en temps long

Interaction de champ moyen

Propagation du chaos

Flot de gradient

Entropie

Inégalité de Sobolev logarithmique

Long-Time behavior

Mean field interaction

Propagation of chaos

Gradient flow

Entropy

Logarithmic Sobolev inequality

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des comportements en temps long des dynamiques avec des interactions de champ moyen et des systèmes de particules associés. Pour la plupart des cas traités dans la thèse, la condition structurelle pour les comportements en temps long est la convexité plate de la fonctionnelle d'énergie de champ moyen, qui est différente de la convexité de déplacement étudiée dans les travaux classiques de transport optimal et de flot de gradient. La thèse est composée de trois parties. Dans la première partie, nous étudions les dynamiques de Langevin de champ moyen suramortie et sousamortie, qui sont des dynamiques de gradient associées à une fonctionnelle d'énergie libre de champ moyen, et nous montrons qu'elles présentent des propriétés de propagation du chaos uniforme en temps en exploitant leurs structures de gradient et une inégalité de Sobolev logarithmique uniforme. Dans la deuxième partie, nous développons d'abord quelques résultats techniques sur les inégalités de Sobolev logarithmiques et nous les appliquons pour obtenir la propagation du chaos uniforme en temps pour de diverses diffusions de McKean-Vlasov. En particulier, pour le modèle de vortex visqueux en 2D, nous développons des bornes de régularité fortes sur sa limite de champ moyen sur l'espace entier et nous montrons sa propagation du chaos par la méthode de Jabin-Wang ; nous étudions également son problème de taille du chaos en utilisant l'approche entropique de Lacker et nous obtenons des bornes optimales et uniformes en temps dans le régime de haute viscosité. Dans la dernière partie de la thèse, nous explorons d'autres dynamiques de champ moyen qui proviennent de problèmes d'optimisation convexes. Pour l'optimisation régularisée par l'entropie, nous étudions une dynamique d'auto-jeu fictif et une diffusion auto-interagissante et nous montrons leurs convergences en temps long vers la solution du problème d'optimisation. Nous considérons également un semigroupe de Schrödinger non linéaire, qui est un flot de gradient pour le problème d'optimisation régularisé par l'information de Fisher, et nous montrons sa convergence exponentielle sous une condition de trou spectral uniforme.

This thesis is devoted to the study of the long-time behaviors of dynamics with mean field interactions and their associated particle systems. For most cases treated in the thesis, the structural condition for the long-time behaviors is the flat convexity of the mean field energy functional, which is different from the displacement convexity studied in the classical works of optimal transport and gradient flow. The thesis is comprised of three parts. In the first part, we study the overdamped and underdamped mean field Langevin dynamics, which are gradient dynamics associated to a mean field free energy functional, and show their time-uniform propagation of chaos properties by exploiting their gradient structures and a uniform logarithmic Sobolev inequality. In the second part, we first develop some technical results on logarithmic Sobolev inequalities and apply them to get the time-uniform propagation of chaos for various McKean-Vlasov diffusions. Specifically, for the 2D viscous vortex model, we develop strong regularity bounds on its mean field limit on the whole space and show its propagation of chaos by the Jabin-Wang method; we also study its size of chaos problem using the entropy approach of Lacker and obtain time-uniform sharp bounds in the high viscosity regime. In the last part of the thesis, we explore alternative mean field dynamics that originate from convex optimization problems. For the entropy-regularized optimization, we study a fictitious self-play dynamics and a self-interacting diffusion and show their long-time convergences to the solution of the optimization problem. We also consider a non-linear Schrödinger semigroup, which is a gradient flow for the optimization problem regularized by Fisher information, and show its exponential convergence under a uniform spectral gap condition.