Transport Optimal et Structures Géométriques

Optimal Transport and Geometric Structures

• Auteur / Autrice : João Machado
• Direction : Antonin Chambolle
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Inscription en doctorat le 31/08/2021
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : SDOSE Sciences de la Décision, des Organisations, de la Société et de l'Echange
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)

Mots clés

Mots clés libres

Transport Optimal

Théorie Géométrique de la Mesure

EDPs

Analyse Convexe

Optimisation

Calcul des Variations

Optimal Transport

Geometric Measure Theory

PDEs

Convex Analysis

Optimization

Calculus of Variations

Résumé

Dans ce projet de thèse nous envisageons d'étudier des problèmes variationnels où on minimise des combinaisons de termes de transport des mesures, et des termes géométriques, c'est-à-dire des termes qui imposent une structure géométrique aux solutions. Ce travail est donc à l'interface de divers domaines des mathématiques appliquées, comme le transport optimal et la théorie géométrique de la mesure. De tels problèmes apparaissent dans plusieurs domaines d'application: par exemple les schémas de type « JKO » pour la fonctionnelle de variation totale ont été étudiés pour des problèmes de débruitage d'image et laissent encore beaucoup de questions ouvertes. En remplaçant la variation totale par le périmètre, on modélise des énergies de tension de surfaces entre fluides immiscibles et on approche des problèmes de type « Mullins-Sekerka », c'est-à-dire l'évolution de fluides magnétiques entre deux plaques de verre. Enfin, la question d'approcher une mesure générale par une mesure de ligne ou des mesures ponctuelles apparait dans de nombreuses applications (statistiques et théorie de l'approximation, imagerie médicale, compression, fabrication additive...)

On this thesis project we study variational problems where we minimise functionals combining transport terms and of geometric nature, that is termes which impose a geometric structure to the solutions. This is therefore on the interface of various domains of applied mathematics, such as the optimal transport and geometric measure theory. These problems appear in many domains of applications: for example the schemes of « JKO » type for the total variation functional have been studied for image denoising purpuses and still have many open questions. Replacing the total variation for the perimeter, we model tension energies of surfaces between immiscible fluids, now treating problems of the « Mullins-Sekerka » type, problems describing the evolution of magnetic fluids constrained between two glass plates. Finally, the problem of approximating a general measure by measures whose support are curves or punctual measures appear in various applications (statistiques and approximation theory, medical imaging, compression, additive fabrication, ...)