Quantité géométrique de domaines aléatoires sur des variétés compactes et marches aléatoires confinées

Geometrical quantity of random domains on compact manifolds and confined random walks

• Auteur / Autrice : Léa Gohier
• Direction : Emmanuel Humbert, Kilian Raschel
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 07/07/2025
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Luc Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Humbert, Marni Mishna, Yannick Privat, Kilian Raschel, Enrica Duchi, Jean-Baptiste GOUéRé, Aline Kurtzmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marni Mishna, Yannick Privat

Mots clés

Mots clés libres

Probabilités

Observabilité

Équation des ondes

Marches aléatoires confinées

Groupes de réflexions

Probabilities

Observability

Wave equation

Confined random walks

Reflection groups

Résumé

Les thèmes abordés dans le cadre de la thèse ''Quantité géométrique de domaines aléatoires sur des variétés compactes et marches aléatoires confinées'' sont à l'intersection de la géométrie et des probabilités. Tout d'abord, nous considérons un problème d'observabilité de l'équation des ondes. Plus précisément, nous nous intéressons à une condition suffisante à l'observabilité dans un sous-ensemble $omega$ : le temps minimal (que l'on note $ell^T(omega)$) passé par une géodésique dans $omega$ durant un temps $T$ fixé doit être non nul. En d'autres termes, le sous-ensemble $omega$ doit ''détecter'' toutes les géodésiques qui se propagent sur la variété considérée durant le temps $T$. En particulier, nous nous focalisons ici sur une question géométrique consistant à construire un exemple de domaine $omega$ dont la quantité géométrique $ell^T(omega)$ s'approche du volume de $omega$, sur le tore $d$-dimensionnel, puis sur toute variété compacte. Ensuite, nous nous intéressons aux marches aléatoires confinées dans l'orthant $d$-dimensionnel ($R_+^d$). Nous pouvons associer un domaine polyédrique unique à tout modèle de marche donné. Nous nous intéressons à un groupe de transformations naturellement associé à tout modèle à petits pas (il s'avère que ce groupe joue un rôle central dans la classification des modèles de marche). Nous mettons en évidence une forte connexion entre ce groupe et le groupe de réflexion à travers les murs du domaine polyédrique. Nous établissons alors des conditions garantissant que le groupe combinatoire est infini. Nous nous intéressons également aux asymptotiques du nombre d'excursions. L'étude de ces asymptotiques est directement reliée à l'étude de l'exposant critique, qui dépend lui-même de la première valeur propre du domaine polyédrique associé à la marche. Nous établissons de nouveaux résultats concernant les valeurs propres de domaines nodaux polyédriques. Ils permettent d'obtenir des résultats asymptotiques pour des modèles de marches dont le domaine polyédrique associé est aussi nodal.

First, we consider an observability problem of the wave equation. More precisely, we are interested in a sufficient condition for observability within a subset $omega$: the minimal time (denoted by $ell^T(omega)$) spent by a geodesic inside $omega$ during a fixed time $T$ must be nonzero. In other words, the subset $omega$ must ''detect'' all geodesics propagating on the considered manifold during time $T$. In particular, we focus here on a geometric question consisting of constructing an example of a domain $omega$ whose geometric quantity $ell^T(omega)$ approaches the volume of $omega$, first on the $d$-dimensional torus, and then on any compact manifold. Second, we are interested in random walks confined in the $d$-dimensional orthant ($R_+^d$). One can associate a unique polyhedral domain to any given walk model. We study a group of transformations naturally associated with any small-step walk model (this group turns out to play a central role in the classification of walk models). We show a strong connection between this group and the reflection group through the walls of the polyhedral domain. As a consequence, we can derive various conditions for the combinatorial group to be infinite. We are also interested in the asymptotics of the number of excursions. The study of these asymptotics is directly related to the study of the critical exponent, which itself depends on the first eigenvalue of the polyhedral domain associated with the walk. We prove new results concerning the eigenvalues of polyhedral nodal domains. These results allow us to obtain asymptotic results for walk models whose associated polyhedral domains are also nodal.