Modélisation de phénomènes hautement oscillants par réseaux de neurones

Modelling of highly oscillatory phenomenon by neural networks

• Auteur / Autrice : Maxime Bouchereau
• Direction : François Castella
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 17/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MATISSE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Julien Mathiaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Chartier, Marjolaine Puel, Nicolas Seguin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Bruno Després

Mots clés

Mots clés contrôlés

Apprentissage automatique

Réseaux neuronaux (informatique)

Équations différentielles

Mots clés libres

Equations différentielles autonomes et fortement oscillantes

Analyse rétrograde

Méthodes numériques uniformément précises

Réseaux de neurones

Erreur numérique

Autonomous and highly oscillatory differential equations

Backward analysis

Uniformly accurate numerical methods

Neural networks

Numerical error

Résumé

Cette thèse porte sur l’application du Machine Learning à l’étude d’équations différentielles fortement oscillantes. Plus précisément, on s’intéresse à une manière d’approcher de manière précise et avec le moins de calculs possible la solution d’une équation différentielle en s’aidant de réseaux de neurones. Tout d’abord, le cas autonome est étudié, où les propriétés de l’analyse rétrograde et des réseaux de neurones sont utilisés afin d’améliorer des méthodes numériques existantes, puis une généralisation au cas fortement oscillant est proposée afin d’améliorer un schéma numérique d’ordre un spécifique à ce cas de figure. Ensuite, les réseaux de neurones sont utilisés afin de remplacer les calculs préalables nécessaires à l’implémentation de méthodes numériques uniformément précises permettant d’approcher les solutions d’équations fortement oscillantes, que ce soit en partant des travaux mis en œuvre pour le cas autonome, ou bien en utilisant une structure de réseau de neurone intégrant directement la structure de l’équation.

This thesis focuses on the application of Machine Learning to the study of highly oscillatory differential equations. More precisely, we are interested in an approach to accurately approximate the solution of a differential equation with the least amount of computations, using neural networks. First, the autonomous case is studied, where the proper- ties of backward analysis and neural networks are used to enhance existing numerical methods. Then, a generalization to the strongly oscillating case is proposed to improve a specific first-order numerical scheme tailored to this scenario. Subsequently, neural networks are employed to replace the necessary pre- computations for implementing uniformly ac- curate numerical methods to approximate so- lutions of strongly oscillating equations. This can be done either by building upon the work done for the autonomous case or by using a neural network structure that directly incorporates the equation’s structure.