Des chevauchements entre mots

On some Computational Questions Regarding String Overlaps

• Auteur / Autrice : Pengfei Wang
• Direction : Eric Rivals
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 13/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Département Informatique
• Jury : Président / Présidente : Sven Rahmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Rivals, Gregory Kucherov, Julien CLéMENT, Sergey Kirgizov, Gilles Didier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gregory Kucherov, Julien CLéMENT

Mots clés

Mots clés libres

Combinatoire

Corrélation

Bornes

Asymptotique

Espérance

Treillis

Combinatorics

Correlation

Bounds

Asymptotics

Expectation

Lattice

Résumé

Les chaînes de caractères (aussi appelés mots), considérées comme des séquences de lettres, jouent un rôle crucial en informatique et en mathématiques, avec des applications dans des domaines aussi divers que les statistiques sur les mots, le traitement des chaînes, la conception de codes ou la bioinformatique. En bioinformatique par exemple, la question de l'assemblage du génome nécessite de calculer les chevauchements entre des millions de chaînes courtes, de les représenter dans un graphe d'assemblage, puis de trouver un chemin approprié dans ce graphe afin d'en déduire la séquence du génome cible. Cette thèse étudie plusieurs problèmes théoriques liés aux chevauchements dans les chaînes de caractères. Nous explorons d'abord le concept d'ensembles de périodes, qui décrit comment un mot se chevauche avec lui-même. Revisitant la conjecture de Guibas et Odlyzko sur la croissance du nombre d'ensembles de périodes valides, nous fournissons une borne supérieure pour le rapport des logarithmes du nombre d'ensembles de périodes et de la longueur du mot, établissant la convergence de ce rapport et clôturant cette conjecture datant de 1981. Ensuite, nous étudions les corrélations, qui capturent les chevauchements entre deux mots en identifiant où un suffixe d'un mot correspond à un préfixe de l'autre. Nous commençons par caractériser les corrélations et étudions le nombre de corrélations pour une longueur de mot donnée. Nous prouvons un résultat de convergence asymptotique similaire à celui obtenu pour les ensembles de périodes. En calculant combien de paires de mots partagent la même corrélation, nous abordons des questions importantes sur les chevauchements de mots, notamment deux problèmes ouverts posés par Gabric en 2022 concernant le plus long chevauchement entre deux mots. Dans une annexe, nous généralisons ces questions au cas où les mots d'une paire peuvent être de longueur différente, et résolvons aussi dans ce cas général les questions ouvertes proposées par Gabric en 2022. En outre, nous étudions la périodicité dans les chaînes dégénérées, une généralisation des chaînes qui modélise l'incertitude dans les séquences et qui a été proposée comme représentation des pangénomes. Nous proposons de nouvelles notions de périodicité, fournissons des conditions pour reconnaître les ensembles de périodes valides et analysons la convergence du nombre d'ensembles de périodes pour les chaînes dégénérées d'une longueur donnée. Pour améliorer notre compréhension des chevauchements de chaînes de caractères, nous utilisons plusieurs outils et techniques mathématiques, issues notamment de la combinatoire, de la théorie des graphes, des probabilités ou de l'analyse algorithmique. Enfin, nous proposons plusieurs questions ouvertes et conjectures qui offrent de nouvelles perspectives de recherches sur les chevauchements de chaînes de caractères.

Strings or words, considered as sequences of letters, play a crucial role in both computer science and mathematics, with applications in areas as diverse as word statistics, string processing, code design, or bioinformatics. In bioinformatics for instance, the question of genome assembly requires to compute overlaps between millions of short strings, represent them in an assembly graph, and then to find an appropriate path in this graph to infer the target genome sequence. This thesis investigates several theoretical problems related to overlaps in strings. We first explore the concept of period sets, which describes how a word overlaps with itself. Revisiting Guibas and Odlyzko’s 1981 conjecture on the growth of the number of valid period sets, we provide an upper bound for the ratio of logarithms of the number of period sets and word length, establishing the convergence of this ratio and closing this longstanding conjecture. Next, we investigate correlations, which capture overlaps between two words by identifying where a suffix of one word matches a prefix of the other. We first characterize correlations and study the number of correlations for a given word length. We prove an asymptotic convergence result that is similar to the one obtained for period sets. By calculating how many pairs of words share the same correlation, we address important questions on word overlaps, including two open problems posed by Gabric in 2022 concerning the longest border between two words. In the appendix, we generalize these questions to the case where words of a pair can have different lengths, and then solve, in the general case, the open questions proposed by Gabric in 2022. Furthermore, we study periodicity in degenerate strings, a generalization of strings which models uncertainty in sequences, and was proposed as representations of pan-genomes. We propose new notions of periodicity, provide conditions for recognizing valid period sets, and analyze the convergence of the number of period sets for degenerate strings of a given length. To improve our understanding of string overlaps, we employ several mathematical tools and techniques, including combinatorics, graph theory, probability, and algorithmic analysis. Finally, we propose several open questions and conjectures that offer new perspectives on string overlaps.