Transport Parallèle pour l'Estimation de Monte-Carlo sur des Graphes Fibrés

Parallel Transport for Monte-Carlo Estimation on Graph Bundles

• Auteur / Autrice : Hugo Jaquard
• Direction : Pierre-Olivier Amblard, Nicolas Tremblay, Simon Barthelme
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Signal Image Parole Télécoms
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 18/11/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale électronique, électrotechnique, automatique, traitement du signal
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Grenoble Images Parole Signal Automatique
• Jury : Président / Présidente : Fabienne Castell
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Olivier Amblard, Konstantin Avrachenkov, Mihai Cucuringu, Stefan Neumann, Alain Kibangou
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Konstantin Avrachenkov, Mihai Cucuringu

Mots clés

Mots clés libres

Algèbre linéaire randomisée

Processus ponctuel determinantaux

Graphes

Connexion

Transport parallèle

Determinantal point processes

Graph

Randomized linear algebra

Connection

Parallel transport

Résumé

Les problèmes commes ceux de débruitage intra-classe en cryomicroscopie électronique, de reconstruction de phase en ptychographie, ou d’extension de champs de vecteurs en géométrie algorithmique impliquent tous des graphes dont les arcs sont équippés de rotations. On souhaite dans ces situations traiter des données associées aux nœuds du graphe, ce que l’on appelle un signal sur graphe, tout en prenant en compte ces rotations. Une tâche fréquente dans ces traitements est celle du lissage (de Tikhonov) d’un signal sur graphe donné, qui est une opération d’algèbre linéaire trop chère pour être calculée exactement en pratique. Il devient nécessaire d’employer des approximations, et une méthodologie moderne d’accélération de calculs consiste à introduire de l’aléatoire dans les algorithmes d’algèbre linéaire. Nous explorons une telle stratégie pour un problème de lissage, prenant en compte les rotations, de signal sur graphe. Notre contribution principale consiste en l’introduction d’une distribution de décompositions aléatoires de graphes, appelées des forêts couvrantes multi-types, et d’estimateurs de Monte-Carlo associés pour le problème de lissage avec rotations. Cette décomposition est obtenue comme une généralisation de la classique distribution uniforme des arbres couvrants d’un graphe, en s’appuyant sur la théorie des processus ponctuels déterminantaux. Nous proposons une implémentation en Julia de ces estimateurs, qui rivalisent avec des algorithmes itératifs standards de l’état de l’art, et sont plus performants dans certains cas, selon la topologie du graphe. Nous appliquons ces estimateurs aux problèmes de synchronisation angulaire et d’interpolation avec rotations.

Problems such as intra-class denoising in cryogenic electron microscopy, phase-reconstruction in ptychography, or vector-field extension in computational geometry all involve graphs with edges endowed with rotations. In these settings, one wishes to process data associated to the nodes of the graph (e.g., vectors or complex numbers), called a graph signal, while taking into account these rotations. A frequent task in these pipelines is that of (Tikhonov) smoothing of a given graph signal, a linear-algebraic computation too expensive to be performed exactly when the graph is too large. Approximations become necessary, and a modern methodology consists in introducing randomization in numerical linear-algebraic algorithms to speed-up the computation. We explore one such randomization strategy for rotation-aware smoothing of graph signals. Our main contribution consists in the introduction of a distribution of random graph-decompositions, called multi-type spanning forests, and of associated Monte-Carlo estimators that can be used to perform rotation-aware smoothing. This decomposition is obtained as a rotation-aware generaliza- tion of the classical uniform spanning-tree distribution, by leveraging the theory of determinantal point procesess. We propose a Julia implementation of these estimators, that competes with standard iterative state-of-the-art algorithms, and outperforms them in some cases depending on the topology of the graph. We apply these estimators to the problems of angular synchronization and rotation-aware interpolation.