Sur les catégories de pre-Calabi-Yau

On pre-Calabi-Yau categories

• Auteur / Autrice : Marion Boucrot
• Direction : Estanislao Herscovich
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 09/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier
• Jury : Président / Présidente : Jean Fasel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Calaque, Patrick Le meur, Nathalie Wahl, Claire Amiot
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Damien Calaque, Patrick Le meur

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie non commutative

A_infini-algèbres

Catégories de pre-Calabi-Yau

Noncommutative geometry

A_infinity-algebras

Pre-Calabi-Yau categories

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les catégories de pre-Calabi-Yau et leurs morphismes. Nous développons pour cela un outil nous permettant de présenter les définitions et les preuves de manière plus simple, que nous appelons le extbf{calcul diagrammatique}. Nous démontrons que le crochet perlé est un crochet de Lie d'une manière différente que celle utilisée dans la littérature existante, en le reliant au crochet de Gerstenhaber. En utilisant cette relation, nous explorons la relation entre les morphismes de pre-Calabi-Yau et les $A_{infty}$-morphismes, étendant les résultats reliant les morphismes d'algèbres de Poisson doubles et les $A_{infty}$-morphismes. Ensuite, nous étudions la théorie de l'homotopie des morphismes de pre-Calabi-Yau, en les regardant en tant qu'éléments de Maurer-Cartan d'une certaine $L_{infty}$-algèbre, et nous présentons les notions d'homotopie et d'homotopie faible. Nous complétons ensuite la relation entre les morphismes de pre-Calabi-Yau et les $A_{infty}$-morphismes, prouvant que les morphismes de pre-Calabi-Yau homotopes donnent lieu à des $A_{infty}$-morphismes faiblement homotopes. Par la suite, nous donnons de nouvelles preuves de diverses versions du Théorème de Transfert Homotopique pour les catégories de pre-Calabi-Yau sans utiliser le calcul propéradique. Nous obtenons conséquence l'existence des modèles minimaux des catégories de pre-Calabi-Yau et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes. Finalement, nous étudions la théorie de l'obstruction des caté-gories de pre-Calabi-Yau et donnons ensuite une structure de modèle sans (co)limites pour la catégorie des catégories de pre-Calabi-Yau.

In this thesis, we study pre-Calabi-Yau categories and their morphisms. We develop for this a tool that allows us to present definitions and proofs in an easier way, that we call extbf{diagrammatic calculus}. By relating it with the Gerstenhaber bracket, we give a different proof than the existing one in the literature that the necklace bracket is a Lie bracket. Using this relation, we investigate the relation between pre-Calabi-Yau morphisms and $A_{infty}$-morphisms, extending results relating morphims of dg double Poisson algebras and $A_{infty}$-morphisms. Next, we study the homotopy theory of pre-Calabi-Yau morphisms, viewing them as Maurer-Cartan elements of a certain $L_{infty}$-algebra, and present the notions of homotopy and weak homotopy. We then complete the relation between pre-Calabi-Yau morphisms and $A_{infty}$-morphisms, proving that homotopic pre-Calabi-Yau morphisms give rise to weak homotopic $A_{infty}$-morphisms. Afterwards, we give a new and direct proof of several variations of the Homotopy Transfer Theorem for pre-Calabi-Yau categories, without using properadic calculus. We obtain as a consequence that minimal models of pre-Calabi-Yau categories exist and that quasi-isomorphisms of pre-Calabi-Yau categories are quasi-invertible. Finally, we study the obstruction theory of pre-Calabi-Yau categories and then give a model structure without (co)limits on the category of pre-Calabi-Yau categories.