Optimisation de formes sur des surfaces

Shape and topology optimization on surfaces

• Auteur / Autrice : Carlos Brito pacheco
• Direction : Charles Dapogny, Eric Bonnetier, Rafael Estevez
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 12/12/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble, Isère, France ; 2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : EDP
• Jury : Président / Présidente : Edouard Oudet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles Dapogny, Ulisse Stefanelli, Fabien Caubet, Eric Bonnetier, Marc Bonnet, Fioralba Cakoni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ulisse Stefanelli, Marc Bonnet

Mots clés

Mots clés libres

Equations aux Dérivées Partielles

Surfaces

Méthode des Eléments Finis

Optimisation de formes

Optimisation de la topologie

Conditions limites

Partial Differential Equations

Surfaces

Finite Element method

Shape optimisation

Topology optimisation

Boundary conditions

Résumé

Cette thèse se concentre sur l'optimisation de régions plongées dans une hypersurface de $mathbb{R}^d$. Du point de vue conceptuel, la recherche revisite des méthodes classiques de conception optimale, telles que la technique de variation de frontière d'Hadamard et le concept de dérivée topologique, que nous adaptons au contexte surfacique étudié. Parallèlement, nous proposons un cadre théorique plus général ancré dans la géométrie riemannienne, pour l'optimisation générale d'une région au sein d'une variété riemannienne. L'application numérique de ces bases théoriques nécessite une stratégie numérique conçue pour suivre les mouvements à grande échelle de régions sur des surfaces tridimensionnelles sous des champs de vitesse complexes. L'approche adoptée dans cette thèse intègre un maillage géométrique précis avec la méthode des ensembles de niveaux, permettant des calculs précis et capturant des déformations significatives, y compris des changements topologiques. La discussion se concentre sur l'optimisation de régions qui supportent des conditions aux limites spécifiques dans la formulation d'un problème aux valeurs aux limites physique. Cela implique l'analyse d'équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites de Dirichlet, Neumann et Robin pour optimiser la forme et la topologie de ces régions. Les applications pratiques de ces techniques sont démontrées dans des scénarios tels que les systèmes de refroidissement de composants mécaniques, les systèmes de positionnement avec pinces, les supports structurels et les dispositifs d'invisibilité acoustique. L'ossature de ces applications pratiques motive la mise en œuvre d'une bibliothèque open-source en C++20 spécifiquement développée pour l'optimisation de forme. Les paradigmes de conception de la bibliothèque sont discutés, avec des exemples d'implémentation axés sur l'optimisation de surfaces, ainsi qu'un aperçu de sa syntaxe et des suggestions pour des améliorations futures. En résumé, cette thèse étend le champ d'application des techniques d'optimisation de forme et de topologie au domaine des régions sur des surfaces dans $mathbb{R}^d$, faisant progresser à la fois la compréhension théorique et pratique de la manière dont ces optimisations peuvent être appliquées à des géométries complexes dans divers contextes d'ingénierie et de conception.

This thesis focuses on the optimization of regions embedded in a hypersurface of $mathbb{R}^d$. From the conceptual viewpoint, the research revisits classical optimal design methods, such as Hadamard's boundary variation technique and the concept of the topological derivative, which we adapt to the surfacic context at hand. Meanwhile we propose a more general theoretical framework framed within Riemannian geometry, for the general optimization of a region within a Riemannian manifold. The numerical application of this theoretical groundwork calls for a numerical strategy designed to track large-scale motion of regions on three-dimensional surfaces under complex velocity fields. The approach matched in this thesis integrates precise geometric meshing with the level set method, enabling accurate computations and capturing significant deformations, including topological changes. The discussion focuses on optimizing regions that support specific boundary conditions in the formulation of a physical boundary value problem. This involves analyzing partial differential equations with Dirichlet, Neumann, and Robin boundary conditions to optimize the shape and topology of these regions. Practical applications of these techniques are demonstrated in scenarios such as cooling systems of mechanical components, clamp-locator systems, in structural supports, and acoustic cloaks. The backbone of these practical applications, motivates the implementation of an open-source C++20 library specifically developed for shape optimization. The library's design paradigms are discussed, with implementation examples focused on surface optimization, along with an overview of its syntax and suggestions for future enhancements. In summary, this thesis extends the range of applications of shape and topology optimization techniques to the realm of region within surfaces in $mathbb{R}^d$, advancing both the theoretical and practical understanding of how these optimizations can be applied to complex geometries within a variety of engineering and design contexts.