Le bord de Poisson et la géométrie asymptotique des produits en couronne et leurs généralisations

The Poisson boundary and asymptotic geometry of wreath product-like groups

• Auteur / Autrice : Eduardo Silva müller
• Direction : Anna Erschler
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 28/05/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Ecole normale supérieure
• Jury : Président / Présidente : François Ledrappier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anna Erschler, Giulio Tiozzo, Peter Haissinsky, Romain Tessera, Vadim Kaimanovich
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Giulio Tiozzo, Peter Haissinsky

Mots clés

Mots clés libres

Produits en couronne

Marches aléatoires

Groupe d'allumeur de réverbères

Impasses

Bord de Poisson

Culs-de-sac

Lamplighter groups

Poisson boundary

Wreath products

Dead ends

Random walks

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des propriétés combinatoires, géométriques et probabilistes des produits en couronne ainsi que d'autres extensions de groupes. Ce travail est divisé en deux parties. Géodésiques non extensibles dans des graphes de Cayley. Nous étudions la propriété d'avoir une emph{profondeur non-bornée} dans les graphes de Cayley des produits en couronne. C'est-à-dire, s'il existe des éléments à une distance arbitrairement grande des autres éléments de longueur de mot plus grande. Nous prouvons que pour tout groupe fini $A$ et tout groupe de type fini $B$, le produit en couronne $Awr B$ admet un ensemble générateur standard avec une profondeur non bornée. Si, de plus, $B$ est abélien, alors cela est vrai pour chaque ensemble générateur standard. Ce résultat généralise le cas où $B=mathbb{Z}$ avec son générateur cyclique, dû à Cleary et Taback. Lorsque $B=H*K$ pour deux groupes finis $H$ et $K$, nous caractérisons quels générateurs standard de $Awr B$ ont une profondeur non bornée en fonction d'une constante géométrique liée aux graphes de Cayley de $H$ et $K$. En particulier, un phénomène distinct du cas unidimensionnel apparaît : l'allumeur de réverbères sur le produit libre de deux groupes cycliques finis suffisamment grands a une profondeur uniformément bornée. Marches aléatoires et bords de Poisson des groupes. D'abord, nous étudions des marches aléatoires sur le groupe $Sym{H}rtimes H$, où $H$ est un groupe de type fini et $Sym{H}$ est le groupe des permutations de support fini de $H$. Nous montrons que pour toute distribution $mu$ des incréments avec un premier moment fini induisant une marche aléatoire transiente sur $H$, la coordonnée de permutation de la marche aléatoire se stabilise presque sûrement. Notre résultat principal affirme que le bord de Poisson de la marche aléatoire $(Sym{Z}rtimes Z,mu)$ est égale à l'espace des fonctions limites doté de la mesure harmonique correspondante. Cela fournit un nouvel exemple de bords de Poisson non triviales complètement décrites pour un groupe élémentairement moyennable. Ensuite, en collaboration avec Joshua Frisch, nous décrivons complètement le bord de Poisson du produit en couronne $Awr B$ des groupes dénombrables $A$ et $B$, pour toutes les mesures de probabilité $mu$ d'entropie finie et telles que les configurations de lampe se stabilisent presque sûrement. Si en plus la projection de $mu$ sur $B$ a la propriété de Liouville, le bord de Poisson de $(Awr B,mu)$ est égal à l'espace des configurations de lampe limites, doté de la mesure harmonique. Cela généralise des résultats précédents de Lyons-Peres pour $dge 3$ et, en particulier, nous répondons à une question ouverte posée par Kaimanovich et Lyons-Peres pour $B=Z^d$, $dge 3$, et des mesures $mu$ avec un premier moment fini.

In this thesis, we investigate combinatorial, geometric and probabilistic properties of wreath products and other group extensions. The work is divided into the following two parts. Non-extendable geodesics in Cayley graphs. We study the property of having emph{unbounded depth} in Cayley graphs of wreath products. That is, whether there exist elements at arbitrarily large distance from other elements of larger word length. We prove that for any finite group $A$ and any finitely generated group $B$, the wreath product $Awr B$ admits a standard generating set with unbounded depth. If, in addition, $B$ is abelian, then the above is true for every standard generating set. This generalizes the case where $B=mathbb{Z}$ together with its cyclic generator, due to Cleary and Taback. When $B=H*K$ for two finite groups $H$ and $K$, we characterize which standard generators of $Awr B$ have unbounded depth in terms of a geometrical constant related to the Cayley graphs of $H$ and $K$. In particular, a different phenomenon from the one-dimensional case occurs: the lamplighter group over the free product of two sufficiently large finite cyclic groups has uniformly bounded depth with respect to some standard generating set. Random walks and Poisson boundaries of groups. First, we study random walks on the lampshuffler group $Sym{H}rtimes H$, where $H$ is a finitely generated group and $Sym{H}$ is the group of finitary permutations of $H$. We show that for any step distribution $mu$ with a finite first moment that induces a transient random walk on $H$, the permutation coordinate of the random walk almost surely stabilizes pointwise to a limit function. Our main result states that for $H=Z$, the Poisson boundary of the random walk $(Sym{Z}rtimes Z,mu)$ is equal to the space of limit functions endowed with the hitting measure. Our result provides new examples of completely described non-trivial Poisson boundaries of elementary amenable groups. Next, in collaboration with Joshua Frisch, we completely describe the Poisson boundary of the wreath product $Awr B$ of countable groups $A$ and $B$, for all probability measures $mu$ with finite entropy and such that the lamp configurations stabilize almost surely along sample paths. If in addition the projection of $mu$ to $B$ is Liouville, we prove that the Poisson boundary of $(Awr B,mu)$ coincides with the space of limit lamp configurations, endowed with the corresponding hitting measure. This improves earlier results Lyons-Peres and, in particular, we answer an open question asked by Kaimanovich and Lyons-Peres for $B=Z^d$, $dge 3$, and measures $mu$ with a finite first moment.