Architectures bi-niveau et algorithmes multi-fidélité pour l'optimisation multidisciplinaire en haute dimension.

Bi-level architectures and multi-fidelity algorithms for multidisciplinary optimization in high dimensions.

• Auteur / Autrice : Yann David
• Direction : Aude Rondepierre
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 31/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMT : Institut de Mathématiques de Toulouse
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : IMT- Equipe Statistique et Optimisation
• Partenaire(s) de recherche : établissement délivrant conjointement le doctorat : Toulouse, INSA
• Jury : Président / Présidente : Serge Gratton
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aude Rondepierre, Michael Kokkolaras, Fernass Daoud, Christophe Blondeau
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Michael Kokkolaras, Fernass Daoud

Mots clés

Mots clés libres

Optimisation

Mdo

Bi-niveau

Multifidélité

Adjoint

Optimization

Mdo

Bi-level

Multi-fidelity

Adjoint

Résumé

L’optimisation multidisciplinaire est un domaine de l’ingénierie impliquant l’intégration de méthodes numériques, d’outils d’ingénierie et de modèles mathématiques afin de résoudre des problèmes d’optimisation impliquant plusieurs champs disciplinaires. Les approches MDO visent à améliorer la qualité de la solution, la robustesse et si possible réduire les coûts de calculs du processus global en prenant en compte les interdépendances et l'aspect organisationnel des différents modèles impliqués. Si les méthodes MDO ont montré leur intérêt dans plusieurs domaines d’ingénierie, tout d’abord en aéronautique puis dans d’autres domaines tels que l’automobile ou le dimensionnement d’éoliennes, plusieurs verrous restent à lever pour profiter pleinement des capacités MDO en haute dimension. Parmi ces verrous, on retrouve la formalisation mathématique d’architectures MDO, c’est-à-dire une reformulation du problème d’optimisation et une suite de calcul associée. En particulier pour les architectures distribuées, dans lesquels plusieurs sous-problèmes d’optimisation sont définis, qui sont réputées pour avoir de moins bonnes propriétés de convergence. Un autre verrou important est l’intégration efficace de modèles de substitution, moins couteux, pour réduire les temps de calcul globaux. La première partie de la thèse porte sur l’élaboration d’une nouvelle architecture bi-niveau, dans lequel deux problèmes d’optimisation sont imbriqués. Dans celle-ci, les variables partagées, entrées pour toutes les disciplines et peu nombreuses, sont optimisées avec un algorithme sans gradient, tandis que les variables locales, entrées d’une unique discipline et plus nombreuses, sont laissées à un sous-problème d’optimisation imbriqué dans le premier. L’originalité de cette architecture étant de résoudre le sous-problème par blocs, en utilisant un algorithme de minimisations alternées, le block-coordinate-descent (ou BCD). Sous certaines hypothèses de bonne définition et séparabilité des blocs, un résultat de convergence locale de l’algorithme est obtenu, améliorant les propriétés de régularité des fonctions et la convergence. Plusieurs applications sur des cas test classiques de MDO illustrent ces propriétés, ainsi que la meilleure scalabilité en fonction du nombre de couplages, contraintes et variables locales des approches bi-niveau par rapport aux architectures monolithiques quand les dérivées couplées de l'ensemble du système ne sont pas disponibles, tel que dans certains contextes industriels. La seconde partie du manuscrit se porte sur l’application des méthodes multi-fidélités dans des processus MDO. Ces méthodes exploitent à la fois un modèle haute-fidélité, de grande précision mais au coût élevé, et un ou plusieurs modèles approchés, de basses fidélités, moins couteux mais à la précision amoindrie. Pour le bon fonctionnement de ces méthodes il est souvent nécessaire de choisir des niveaux de basse-fidélité adéquats, c’est-à-dire des modèles possédant un rapport coût/précision intéressant. Ceci est d’autant plus critique dans le cadre de la MDO étant donné les nombreux moyens de générer ces modèles de basse-fidélité dont l’impact de leur introduction dans l’optimisation n’est pas connu a priori. Les contributions de ce chapitre portent sur la classification d’un grand nombre de modèles de basse-fidélité, notamment par l’introduction de deux critères d’estimation d’erreur ne nécessitant pas de statistiques couteuses. Le parti pris étant que, étant donné le très grand nombre de modèles à classer, une approximation grossière est suffisante pour espérer un gain en temps de la multi-fidélité. De petits cas test de MDO sont considérés pour illustrer ces critères en exploitant les spécificités de la MDO pour rapidement générer des modèles de basse-fidélité. Les modèles de fidélité sont ensuite choisis selon les critères proposés et une optimisation multi-fidélité, basée sur une approche de raffinement, démontre l’impact de ces choix sur son efficacité.

Multidisciplinary Optimization is a field of engineering that integrates numerical methods, engineering tools, and mathematical models to solve optimization problems involving multiple disciplines. MDO approaches aim to improve the quality and robustness of the solution and, if possible, reduce the computational cost of the overall process by taking into account the interdependencies and organizational aspects of the different models involved. While MDO methods have been proven in a number of engineering fields, starting with aeronautics and then moving to other areas such as automotive and wind turbine design, there are still a number of hurdles to overcome before we can take full advantage of the high-dimensional MDO capabilities. These include the mathematical formalization of MDO architectures, i.e. a reformulation of the optimization problem and an associated computational sequence. This is especially true for distributed architectures, where multiple optimization sub-problems are defined, which are known to have worse convergence properties. Another important issue is the efficient integration of less costly substitution models to reduce the overall computation time. The first part of the thesis deals with the development of a new bi-level architecture in which two optimization problems are nested. In this architecture, the shared variables, inputs for all disciplines and few in number, are optimized with a gradient-free algorithm, while the local variables, inputs for a single discipline and more numerous, are left to an optimization sub-problem nested within the first. The originality of this architecture lies in the fact that the sub-problem is solved in blocks, using an alternating minimizations algorithm, the block-coordinate-descent (BCD) algorithm. Under certain assumptions of good block definition and separability, a local convergence result of the algorithm is obtained, which improves the regularity properties of the functions and the convergence. Several applications to classical MDO test cases illustrate these properties, as well as the better scalability as a function of the number of couplings, constraints, and local variables of bi-level approaches compared to monolithic architectures when coupled derivatives of the whole system are not available, as in some industrial contexts. The second part of the manuscript focuses on the use of multi-fidelity methods in MDO processes. These methods make use of both a high-fidelity model, with high accuracy but high cost, and one or more low-fidelity approximate models, with lower cost but lower accuracy. For these methods to work properly, it is often necessary to choose appropriate low-fidelity levels, i.e., models with an attractive cost/accuracy ratio. This is all the more critical in the context of MDO, since there are many ways to generate these low-fidelity models, the impact of which on optimization is not known a priori. The contributions in this chapter focus on the classification of a large number of low-fidelity models, in particular through the introduction of two error estimation criteria that do not require costly statistics. The assumption is that given the very large number of models to be classified, a rough approximation is sufficient to hope for a gain in time from the multifidelity. Small MDO test cases are considered to illustrate these criteria, exploiting the specificities of MDO to quickly generate low-fidelity models. Fidelity models are then chosen according to the proposed criteria, and a multi-fidelity optimization based on a refinement approach demonstrates the impact of these choices on its efficiency.