La représentation de Weil sur les corps finis et la théorie de l'information quantique

The Weil representation for finite fields and Quantum Information Theory

• Auteur / Autrice : Aurelie Paull
• Direction : Angela Pasquale, Tomasz Przebinda
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 14/09/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : ANALYSE ET THEORIE DES NOMBRES

Mots clés

Mots clés libres

Représentation de Weil

Groupes finis de type Lie classiques

Correspondance eta

Codes correcteurs quantiques

Eta correspondance

Weil representation

Quantum error-correcting codes

Classical finite groups of Lie type

Résumé

L'objectif général de cette thèse est de comprendre les représentations des groupes finis de type Lie classiques à partir de représentations «petites» au sens de Gurevich et Howe [GH1, GH2] et de les relier à la théorie de l'information quantique. Ces recherches se basent sur l'étude de la représentation de Weil et de la correspondance dite « eta ». La représentation de Weil est un objet omniprésent en mathématiques et en physique et joue un rôle central dans la théorie des représentations, l'analyse harmonique, la théorie des nombres, la mécanique quantique et la théorie de l'information quantique. Cette représentation, notée ω dans la suite, peut être introduite de manière unifiée pour les corps locaux, les corps p-adiques et les corps finis de caractéristique impaire. Pourtant, sa définition originale dans l'œuvre pionnière d'André Weil [W] est loin d'être explicite. De nombreux articles ultérieurs ont été consacrés à rendre ω plus intelligible. On mentionne par exemple [R], [T], [AP]. Pour un corps fini F_q constitué de q éléments avec q impair, la représentation de Weil est une représentation du groupe Sp(W) des transformations linéaires inversibles qui préservent une forme symplectique non dégénérée sur W. Lorsque q est pair, la situation est en quelque sorte comprise, grâce aux travaux de Weil, Blasco [B] (groupe pseudo-symplectique), Gurevich-Hadani [GH] et Gottesmann [G] (groupe de Clifford), mais il reste encore beaucoup à faire pour atteindre le niveau de satisfaction qu'on a dans le cas impair. Le rôle fondamental de ω en théorie des représentations apparaît par exemple pour les paires duales réductives de Howe. Une telle paire est formée par deux sous-groupes G,G' de Sp(W) qui sont centralisateurs l'un de l'autre dans le groupe symplectique et qui agissent réductivement sur W. Pour les corps locaux, la correspondance de Howe est une bijection entre des représentations irréductibles appropriées de G et G' obtenues par restriction de ω à GG' (ou plutôt à des recouvrements doubles de ces groupes) et en considérant les quotients irréductibles. Pour les corps finis, la restriction de ω à GG' ne conduit pas immédiatement à une bijection entre représentations de G et de G'. Notamment, un ensemble fini de représentations irréductibles de G' est associé à une seule représentation irréductible de G. Il y a donc un problème de choix d'une représentation naturelle de G' dans cet ensemble. La correspondance eta de Gurevich et Howe est le premier choix [GH1, GH2]. Un autre choix est basé sur la notion de front d'onde de Lusztig [AKP]. Les représentations irréductibles des groupes finis de type Lie ont été classifiées par Lusztig et Deligne. Des études sur la restriction de la représentation de Weil à une paire duale en termes de cette classification ont été réalisées dans [AMR], [Ch], [P]. Cependant, cette ligne de recherche est loin d'être complète, surtout en caractéristique 2. L'un des objectifs de la thèse est de contribuer à la compréhension de la restriction de ω en combinant les approches ci-dessus. La correspondance eta se base sur la notion de rang d'une représentation, dans le sens que les candidats naturels choisis pour obtenir une bijection entre représentations de G et de G' sont les représentations de rang maximal. Ce cadre a été considéré aussi par des physiciens [MG] dans une tentative de construire de nouveaux codes correcteurs quantiques de la classe de Calderbank-Shor-Steane (CSS). Un autre objectif de cette thèse sera de chercher des connexions ultérieures entre les paires duales et la théorie de l'information quantique. Tout au long de la thèse, nous tenterons de mettre l'accent sur le cas des corps finis de caractéristique 2, ce qui présente un intérêt particulier dans la théorie de la correction d'erreur quantique. Références : [AMR] A.-M. Aubert, J. Michel, et R. Rouquier, Correspondance de Howe pour les groupes réductifs sur les corps finis, Duke Math. J. 83 (1996), no. 2, 353–397. [AKP] A.-M. Aubert, W. Kraśkiewicz, T. Przebinda, Howe correspondence and Springer correspondence for dual pairs over a finite field. Lie algebras, Lie superalgebras, vertex algebras and related topics, 17–44, Proc. Sympos. Pure Math., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016. [AP] A.-M. Aubert, T. Przebinda, A reverse engineering approach to the Weil representation. Cent. Eur. J. Math. 12 (2014), no. 10, 1500–1585. [B] L. Blasco, Paires duales réductives en caractéristique 2. Mém. Soc. Math. France, No. 52 (1993), 1–73. [Ch] J. Epequin Chavez, Extremal unipotent representations for the finite Howe correspondence. J. Algebra 535 (2019), 480–502. [G] D. Gottesman, A Theory of Fault-Tolerant Quantum Computation, Phys. Rev. A 57 (1998), 127-137 [GH] S. Gurevich et R. Hadani: The Weil representation in characteristic two. Adv. Math. 230 (2012), 894–926. [GH1] S. Gurevich et R. Howe: Small representations of finite classical groups. Dans: Representation theory, number theory, and invariant theory, 209–234, Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, Cham, 2017. [GH2] S. Gurevich et R. Howe: Rank and duality in representation theory. Jpn. J. Math. 15 (2020), no. 2, 223–309. [MG] F. Montealegre-Mora, D. Gross, Rank-deficient representations in the theta correspondence over finite fields arise from quantum codes. Represent. Theory 25 (2021), 193–223. [P] S.-Y. Pan, On Theta Ranks of Irreducible Characters of a Finite Classical Group, arXiv:2102.09220 [R] R. Ranga Rao, On some explicit formulas in the theory of Weil representations. Pacific J. Math. 157 (1993), 335–371. [T] T. Thomas, Teruji, Weil representation and transfer factor. Algebra Number Theory 7 (2013), no. 7, 1535–1570. [W] A. Weil, Sur certains groupes d'opérateurs unitaires. Acta Math. 111 (1964), 143–211.

The general purpose of this thesis is to understand representations of classical finite groups of Lie type starting from representations that are 'small' in the sense of Gurevich and Howe [GH1, GH2] and to relate them to the rapidly growing Quantum Information Theory. These lines of investigation are based on the analysis of the Weil representation and the so-called eta correspondence. The Weil representation is a ubiquitous object in mathematics and physics and plays a central role in Representation Theory, Harmonic Analysis, Number Theory, Quantum Mechanics, and Quantum Information Theory. This representation, denoted by ω in the following, can be introduced in a unified manner for local fields, p-adic fields, and finite fields of odd characteristic. Still, its original definition in the pioneering work of André Weil [W] is far from being explicit. Many subsequent articles have been devoted to making ω more intelligible. We mention for instance [R], [T], [AP]. For a finite field F_q consisting of q elements with q odd, the Weil representation is a representation of the group Sp(W) of invertible linear maps preserving a non-degenerate symplectic form on W. For an even q, the situation is in some sense understood, due to the works of Weil, Blasco [B] (pseudo-symplectic group), Gurevich-Hadani [GH] and Gottesmann [G] (Clifford group), but more needs to be done to achieve the level of satisfaction we have in the odd case. In Representation Theory, a primary role of ω comes to light through Howe's theory of reductive dual pairs (G,G'). These are subgroups of the symplectic group Sp(W) that are mutual centralizers and act reductively on W. For local fields, the Howe correspondence is a bijection between suitable irreducible representations of G and G' obtained by restricting ω to GG' (or rather some double covers of these groups) and considering irreducible quotients. For finite fields, the restriction of ω to GG' does not immediately lead to a bijection of representations of G and G'. A finite set of irreducible representations of G' is associated with a single irreducible representation of G. There is a problem of choosing a natural representation of G' in that set. The eta correspondence of Gurevich and Howe is the prominent choice [GH1,GH2]. Another choice is based on the notion of Lusztig's wavefront set [AKP]. The irreducible representations of finite groups of Lie type have been classified by Lusztig and Deligne. Some work concerning the restriction of Weil representation to a dual pair in terms of this classification was done in [AMR], [Ch], [P]. However, this line of research is far from complete, especially in characteristic two. One goal of the thesis is to contribute to understanding this restriction, combining the above approaches. The eta correspondence is based on the notion of rank of a representation and the natural candidates chosen to obtain a duality between representations of G and G' are the representations with maximal rank. This situation has been studied further by physicists [MG] in their attempt to construct new Calderbank-Shor-Steane (CSS) quantum error-correcting codes. Another goal of this thesis will be to look for more connections between the dual pairs and Quantum Information Theory. Throughout the thesis, we will attempt to emphasize the case of finite fields of characteristic two, which is of special interest in the theory of Quantum Error-Correcting Codes. References : [AMR] A.-M. Aubert, J. Michel, et R. Rouquier, Correspondance de Howe pour les groupes réductifs sur les corps finis, Duke Math. J. 83 (1996), no. 2, 353–397. [AKP] A.-M. Aubert, W. Kraśkiewicz, T. Przebinda, Howe correspondence and Springer correspondence for dual pairs over a finite field. Lie algebras, Lie superalgebras, vertex algebras and related topics, 17–44, Proc. Sympos. Pure Math., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016. [AP] A.-M. Aubert, T. Przebinda, A reverse engineering approach to the Weil representation. Cent. Eur. J. Math. 12 (2014), no. 10, 1500–1585. [B] L. Blasco, Paires duales réductives en caractéristique 2. Mém. Soc. Math. France, No. 52 (1993), 1–73. [Ch] J. Epequin Chavez, Extremal unipotent representations for the finite Howe correspondence. J. Algebra 535 (2019), 480–502. [G] D. Gottesman, A Theory of Fault-Tolerant Quantum Computation, Phys. Rev. A 57 (1998), 127-137 [GH] S. Gurevich et R. Hadani: The Weil representation in characteristic two. Adv. Math. 230 (2012), 894–926. [GH1] S. Gurevich et R. Howe: Small representations of finite classical groups. Dans: Representation theory, number theory, and invariant theory, 209–234, Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, Cham, 2017. [GH2] S. Gurevich et R. Howe: Rank and duality in representation theory. Jpn. J. Math. 15 (2020), no. 2, 223–309. [MG] F. Montealegre-Mora, D. Gross, Rank-deficient representations in the theta correspondence over finite fields arise from quantum codes. Represent. Theory 25 (2021), 193–223. [P] S.-Y. Pan, On Theta Ranks of Irreducible Characters of a Finite Classical Group, arXiv:2102.09220 [R] R. Ranga Rao, On some explicit formulas in the theory of Weil representations. Pacific J. Math. 157 (1993), 335–371. [T] T. Thomas, Teruji, Weil representation and transfer factor. Algebra Number Theory 7 (2013), no. 7, 1535–1570. [W] A. Weil, Sur certains groupes d'opérateurs unitaires. Acta Math. 111 (1964), 143–211.