Etude de l'erreur du Filtre et du Prédicteur dans les modèles de Markov Couple Gaussiens

Study of Filter and Predictor Error in Gaussian Pairwise Markov Models

• Auteur / Autrice : Marc Escudier
• Direction : Wojciech Pieczynski
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : SAMOVAR - Services répartis, Architectures, Modélisation, Validation, Administration des Réseaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : TIPIC

Mots clés

Mots clés libres

Probabilités

Chaines de Markov Cachées

Mathématiques

Chaines de Markov Couple

Prédiction

Filtrage

Probabilities

Mathematics

Probabilities

Pairwise Markov Models

Prediction

Filtering

Résumé

Les Chaînes de Markov Cachées (HMC) sont fréquemment utilisées pour le filtrage et la prédiction dans l'étude des séries temporelles. En particulier, dans le cas gaussien et homogène, le Filtre de Kalman est très connu pour ses applications en poursuite, météorologie, finance... Les HMC sont un cas particulier des Chaînes de Markov Couple ou Pairwise Markov Chains (PMC), modèles qui n'exigent pas, en particulier, la markovianité du processus caché. Les apports des PMC par rapport aux HMC pour le filtrage, dans le contexte gaussien homogène, ont déjà été mis en lumière dans un certain nombre de travaux ; leur étude dans le cadre de la prédiction est originale. S'intéressant plus spécifiquement à la robustesse, on propose des méthodes d'évaluation analytique de l'accroissement de l'erreur du filtrage ou de la prédiction lorsque les paramètres du PMC utilisé s'écartent des vrais paramètres. Une méthode séquentielle permettant le calcul rapide de leur évolution dans le temps est proposée. En particulier, elle permet l'évaluation de l'évolution, au cours du temps, des erreurs du filtre et du prédicteur lorsque les données correspondant à un PMC sont traitées en utilisant un HMC. Afin d'illustrer l'apport des PMC par rapport aux HMC dans la prédiction de séries temporelles, on compare leurs performances dans le cadre du filtrage et de la prédiction de différentes données réelles (pression, température, humidité des sols).

Hidden Markov Chains (HMC) are frequently used for filtering and prediction in the study of time series. In particular, in the Gaussian and homogeneous case, the Kalman Filter is well known for its applications in tracking, meteorology, finance... HMCs are a special case of Pairwise Markov Chains (PMCs), models which do not require, in particular, the markovianity of the hidden process. The benefits of PMCs over HMCs for filtering, in the homogeneous Gaussian context, have already been highlighted in a number of works; their study in the context of prediction is original. Focusing more specifically on robustness, we propose methods for analytically evaluating the increase in filtering or prediction error when the PMC parameters used deviate from the true parameters. A sequential method enabling rapid calculation of their evolution over time is proposed. In particular, it enables us to evaluate the evolution, over time, of filter and predictor errors when data corresponding to a PMC are processed using an HMC. To illustrate the contribution of PMCs compared with HMCs in predicting time series, we compare their performance in filtering and predicting different real data (pressure, temperature, soil moisture).