Modélisations mathématiques et numériques sur le Sweeping process : applications à la dynamique du contact

Sweeping processes with applications to contact dynamics

• Auteur / Autrice : Vo Anh Thuong Nguyen
• Direction : Mikael Barboteu, Stéphane Abide, Serge Dumont
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2021
• Etablissement(s) : Perpignan
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Énergie environnement (Perpignan ; 1999-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAboratoire de Mathématiques et PhySique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : MATHEMATIQUES

Mots clés

Mots clés libres

Dynamique du contact

Sweeping process

Inclusion différentielle

Contact dynamics

Sweeping process

Differential inclusion

Résumé

Basé sur l'importance croissante de comprendre les médias granulaires et leurs comportements dans diverses industries, ce travail propose une nouvelle méthode différente de la Méthode des Éléments Discrets (Discrete Element Method-DEM) et de l'approche de la Dynamique de Contact Non Lisse (Non-Smooth Contact Dynamics-NSCD) pour modéliser la dynamique granulaire. Nous nous concentrons sur un processus de balayage discontinu de Moreau de second ordre pour modéliser la dynamique de contact, en incorporant la régularisation de Moreau-Yosida avec le paramètre ( alpha ) pour développer un modèle de contact régulier. Nous proposons la méthode textbf{Improved Normal Compliance} (INC) pour assurer la conservation de l'énergie et employons une combinaison de la méthode de Newmark et de textbf{Primal-Dual Active Set} (PDAS) pour traiter la non-linéarité. Cette étude vise à comparer l'efficacité de notre approche avec d'autres techniques de modélisation numérique, telles que DEM et NSCD via la méthode de Gauss-Seidel Non Linéaire (Nonlinear Gauss Seidel method-NLGS), en se concentrant sur l'amélioration de la conservation de l'énergie et du coût computationnel. En outre, en relation avec le processus de balayage de Moreau, pour établir l'existence d'une solution, il est assez naturel d'aller au-delà de la convexité avec la prox-régularité ou la classe duale associée à l'ensemble prox-régulier qui est un ensemble fortement convexe. De plus, la régularité métrique sert d'outil utile pour étudier la faible convexité de sous-ensembles spécifiques. Plus précisément, nous nous concentrerons sur deux idées principales. Premièrement, nous considérons les concepts de textbf{Fonction de distance la plus éloignée aux ensembles fortement convexes dans les espaces de Hilbert}. D'une part, nous montrons que la forte convexité d'un ensemble est équivalente à la semi-concavité de sa fonction de distance la plus éloignée associée. D'autre part, nous établissons que la distance la plus éloignée d'un point à un ensemble fortement convexe est la distance la plus éloignée minimale au point donné à partir de boules fermées appropriées séparant l'ensemble et le point. Deuxièmement, nous nous concentrons sur textbf{la sous-régularité métrique et les propriétés de régularité $omega(cdot)$-normales}. Nous établissons par une condition d'ouverture la sous-régularité métrique d'une multi-application avec la régularité $omega(cdot)$-normale soit du graphe, soit des valeurs. Divers résultats de préservation pour les ensembles prox-réguliers et sous-lisses sont également fournis. vskip 0.2cm noindent textbf{Mots-clés}: Contrainte unilatérale, Normal Compliance, Friction, Méthodes de Newmark, Dynamique de Contact Non Lisse, Méthode de Newton Semi-Lisse, Primal-Dual Active Set, Processus de balayage; Analyse variationnelle, forte convexité, prox-régularité, fonction de distance la plus éloignée, semi-convexité, régularité normale, sous-lissité, régularité métrique, sous-régularité métrique.

Based on the growing importance of understanding granular media and their behaviors in various industries, this work proposes a new method different from the Discrete Element Method (DEM) and the Non-Smooth Contact Dynamics (NSCD) approach to model granular dynamics. We focus on a discontinuous Moreau second-order sweeping process for modeling contact dynamics, incorporating the Moreau-Yosida regularization with parameter $ alpha $ to develop a regular contact model. We propose the textbf{Improved Normal Compliance} (INC) method to ensure energy conservation and employ a combination of the Newmark method and textbf{Primal-Dual Active Set} (PDAS) to address nonlinearity. This study aims to compare the efficiency of our approach with other numerical modeling techniques, such as DEM and NSCD via Nonlinear Gauss Seidel method (NLGS), focusing on improving energy conservation and computational cost. Furthermore, related to the Moreau sweeping process, to establish the existence of a solution, it is quite natural to extend beyond convexity with prox-regularity or the dual class associated with the prox-regular set, which is a strongly convex set. Additionally, metric regularity serves as a useful tool for studying the weak convexity of specific subsets. More precisely, we will focus on two main ideas. First, we consider the concepts of textbf{Farthest distance function to strongly convex sets in Hilbert spaces}. On one hand, we show that the strong convexity of a set is equivalent to the semiconcavity of its associated farthest distance function. On the other hand, we establish that the farthest distance of a point to a strongly convex set is the minimum farthest distance to the given point from suitable closed balls separating the set and the point. Second, we concentrate on textbf{Metric subregularity and $omega(cdot)$-normal regularity properties}. We establish through an openness condition the metric subregularity of a multimapping with normal $omega(cdot)$-regularity of either the graph or values. Various preservation results for prox-regular and subsmooth sets are also provided. vskip 0.2cm noindent textbf{Keywords}: Unilateral constraint, Normal Compliance, Friction, Newmark methods, Non Smooth Contact Dynamics, Semi-Smooth Newton method, Primal-Dual Active Set, Sweeping process; Variational analysis, strong convexity, prox-regularity, farthest distance function, semiconvexity, normal regularity, subsmoothness, metric regularity, metric subregularity.