Endomorphismes des variétés algébriques projectives

Endomorphisms of projective algebraic varieties

• Auteur / Autrice : Sami Al-asaad
• Direction : Michel Brion, Matthieu Romagny
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier

Mots clés

Mots clés libres

Variétés projectives

Endomorphismes

Automorphismes

Degré

Automorphisms

Projective varieties

Endomorphisms

Degree

Résumé

Les endomorphismes d'une variété algébrique projective X forment un monoïde End(X) pour la composition. On sait aussi que End(X) a une structure naturelle de schéma réduit localement de type fini, telle que la composition soit un morphisme ; l'ensemble des composantes connexes de End(X) est un monoïde fini ou dénombrable. La structure des endomorphismes et des monoïdes qu'ils forment est largement inexplorée. L'intérêt s'est principalement porté sur les endomorphismes de degré fini et en particulier les automorphismes, en relation avec la dynamique (voir par exemple les articles [Be01], [NZ10], [MZ20a], [MZ20b]). Le sujet de thèse proposé consiste d'abord à étendre au monoïde des composantes de End(X) certaines propriétés du groupe des composantes des automorphismes ; par exemple, ses sous-groupes finis sont d'ordre borné par une constante qui ne dépend que de X. Pour cela, un ingrédient important est l'action des endomorphismes sur les fibrés en droites, comme dans le texte d'exposition [Br19] sur les automorphismes. D'autres ingrédients sont des résultats de finitude pour les morphismes entre variétés de type général, voir par exemple [BM99]. Par la suite, on étudiera l'image itérée d'un endomorphisme (il s'agit de l'intersection des images de ses itérés) et la factorisation de Stein itérée qui lui correspond. Ces notions, nouvelles à ma connaissance, apparaissent naturellement dans l'étude dynamique des endomorphismes ; leur exploration présente de nombreuses questions fondamentale, comme la caractérisation des images itérées possibles. Enfin, on s'intéressera aux endomorphismes algébriques, ceux dont l'adhérence des itérés forme un sous-monoïde algébrique de End(X). En s'appuyant sur des résultats de [Br14], il doit être possible de décrire ces endomorphismes en termes des groupes algébriques dits monothétiques ; la structure de ces derniers est déterminée dans [FPS07].

The endomorphisms of a projective algebraic variety X form a monoid End(X) under composition. It is known that End(X) has a natural structure of a reduced scheme, locally of finite type; its set of connected components is finite or countable. The structure of endomorphisms and their monoids is a largely unexplored topic. Endomorphisms of finite degree, in particular automorphisms, have attracted most of the interest in view of their relation to dynamics (see for example the articles [Be01], [MZ20a], [MZ20b], [NZ10]). The proposed thesis topic aims first at extending to the monoid of connected components of End(X) some properties of the group of components of automorphisms; for example, its finite subgroups have order bounded by a constant which only depends on X. For this, an important ingredient is the action of endomorphisms on line bundles, as in the expository text [Br19] on automorphisms. Further ingredients are finiteness results for morphisms between varieties of general type, see for example [BM99]. The next step is to study the iterated image of an endomorphism (this is the intersection of images of its iterates) and the corresponding iterated Stein factorization. These are new notions as far as I know; they occur naturally in the dynamical study of general endomorphisms. Their exploration raises many fundamental problems, for example the characterization of iterated images. Finally, algebraic endomorphisms will be considered, i.e., those such that the closure of the set of iterates is an algebraic submonoid of End(X). Using results from [Br14], one should be able to describe these endomorphisms in terms of algebraic groups called monothetic. The structure of these groups is described in [FPS07].