Inférence géométrique en analyse de données : le point de vue de la théorie géométrique de la mesure

Geometric inference for Data analysis: a Geometric Measure Theory perspective

• Auteur / Autrice : Charly Boricaud
• Direction : Simon Masnou
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse harmonique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Inférence géométrique

Théorie géométrique de la mesure

Surfaces discrètes

Analyse de données

Geometric inference

Geometric measure theory

Discrete surfaces

Data analysis

Résumé

Afin de faire face à l'augmentation considérable du volume des données collectées, l'automatisation des processus de traitement est un enjeu sociétal majeur. Les difficultés rencontrées sont multiples : les données recueillies sont peu structurées et potentiellement de grande dimension, prenons l'exemple d'un ensemble d'images médicales (radiographies numérisées des poumons d'un échantillon de patients) qui peut être vu comme un ensemble de points dans R^n où n est le nombre de pixels d'une image. Une hypothèse standard en intelligence artificielle ('Manifold Hypothesis') stipule qu'en dépit des apparences, un jeu de données est un sous-ensemble de petite dimension d << n de l'espace ambiant, typiquement une surface ou une sous-variété et il suffit ainsi de peu de paramètres pour les décrire. Pour revenir à l'exemple précédent, les différentes radiographies partagent beaucoup de traits communs et sont loin d'être prises aléatoirement dans R^n. Cependant, le paramétrage lisse ne permet de représenter que très approximativement certains jeux de données et il apparaît naturel d'inclure des ensembles présentant des bords, des arêtes, des auto-intersections, des branchements ... On suggère ainsi dans ce projet de faire appel à des notions de surfaces affaiblies issues de la théorie géométrique de la mesure, plus précisément aux 'varifolds', afin de modéliser la structure des données. Dans ce cadre, les techniques habituelles d'inférence géométrique (permettant d'extraire les caractéristiques géométriques d'un ensemble de points) doivent être revisitées, ce qui est précisément l'objet du projet joint.

Facing a considerable amount of gathered data, the automatic processing is a major society stake. However, these data often lack structure and potentially belong to high dimension spaces. Indeed, consider the following example constitued of medical scans (lungs radio of a sample of patients) viewed as an n-dimensionnal pointcloud where n is the number of pixels. According to the Manifold Hypothesis, data lie in a subset of lower dimension d<<n, typically a surface of a submanifold and then we need few parameters to describe it. Back to the previous example, different radiographs have similarities and are far from being random points in R^n. Unfortunately, a smooth parametrization cannot represent any real-world data set the it is natural to include sharp, edges, self-intersections, connections, We suggest in this project to use a notion of weak surfaces coming from geometric measure theory, more precisely ‘varifolds', to model the structure of data. In this framework, the usual geometric inference techniques (allowing to extract the geometric features of a point set) must be revisited and that is the goal of this project.