Plongements isométriques PL de surfaces plates

PL isometric embeddings of flat surfaces

• Auteur / Autrice : Florent Tallerie
• Direction : Francis Lazarus
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 10/10/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des Sciences pour la Conception, l'Optimisation et la Production de Grenoble
• Jury : Président / Présidente : Remi Coulon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francis Lazarus, Xavier Goaoc, Gabriela Weitze-schmithüsen, Erwan Lanneau, Alba marina Malaga sabogal, Thierry Monteil, Vincent Borrelli
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Xavier Goaoc, Gabriela Weitze-schmithüsen

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie algorithmique

Plongements isométriques PL

Surfaces polyédrales

Géométrie et topologie PL

Surfaces de translations

Triangulations universelles

Computational geometry

PL isometric embeddings

Polyhedral surfaces

PL geometry and topology

Translation surfaces

Universal triangulations

Résumé

Cette thèse porte sur les plongements isométriques PL de surfaces plates de petit genre (g = 0, 1, 2). Nous y présentons trois résultats originaux. Le premier concerne une méthode générique due à Burago et Zalgaller, détaillée dans leur article de 1995, pour plonger PL isométriquement une surface polyédrale quelconque. Alors qu'une des étapes de cette méthode repose sur le procédé non constructif de Nash-Kuiper, nous donnons une implémentation effective dans le cas des tores plats. La méthode de Burago et Zalgaller, bien que générique, ne permet pas de réaliser de manière uniforme, c'est-à-dire avec un nombre borné de sommets, une famille de surfaces polyédrales - par exemple la famille des tores plats. Nous construisons dans un second temps une triangulation universelle pour les tores plats, c'est-à-dire une triangulation T du tore qui, pour tout tore plat, admet une réalisation géométrique isométrique à ce tore plat, affine sur chaque triangle de T. Enfin, nous exhibons des plongements isométriques PL relativement simples de surfaces de translation de genre 2. Ces modèles peuvent être aisément utilisés à des fins de visualisation, et nous avons ainsi pu en réaliser par impression 3D ou par pliage papier. De manière générale, les surfaces de translation forment des espaces, dits de modules, stratifiés par le genre et la nature des singularités. La compréhension de ces espaces faisant intervenir des notions mathématiques délicates, nous avons choisi de présenter soigneusement les concepts utilisés dans le second chapitre. En genre 2, il n'y a que deux strates : H(2) et H(1,1). Bien que nos modèles pour H(2) ne recouvrent pas la totalité de la strate, ils permettent de réaliser un ouvert de H(2) relativement important, comme il est décrit dans cette thèse.

This thesis deals with PL isometric embeddings of flat surfaces of small genus (g = 0, 1, 2). We present inside three original results. The first one is about a generic method due to Burago and Zalgaller, which is detailed in their article of 1995, in order to PL isometrically embed any polyhedral surface. Although one of the step of this method is based on the non constructive Nash-Kuiper process, we give an effective implementation in the case of flat tori. The method of Burago and Zalgaller, though generic, does not allow to uniformly realize, namely with a bounded number of vertices, a family of polyhedral surfaces - for instance the family of flat tori. We build in a second time a universal triangulation for flat tori, i.e. a triangulation T of the torus which, for every flat torus, admits a geometric realization isometric to this flat torus, linear in restriction to each triangle of T. Finally, we exhibit relatively simple PL isometric embeddings of genus 2 translation surfaces. This models can be easily used to visualization ends, and we were able to realize some ones by 3D printing or by paper folding. Generally, translation surfaces form spaces called moduli spaces, stratified by the genus and the nature of the singularities. Non trivial notions are involved to understand these spaces, and we chose to thoroughly present the concepts used in the second chapter. In genus 2, there is only two strata: H(2) and H(1,1). Whereas our models for H(2) do not cover the entire strarum, they permit to realize a relatively important open subset of H(2), as we describe in this thesis.