Ondes amorties dans des géométries non-bornées

Damped waves in unbounded geometries

• Auteur / Autrice : Antoine Prouff
• Direction : Matthieu Leautaud
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Equation des ondes amorties

Stabilisation

Analyse semi-classique

Damped wave equation

Stabilization

Semiclassical analysis

Résumé

Ce sujet de thèse vise à comprendre les taux de décroissance pour l'équation des ondes amorties en domaine non borné. On s'intéressera tout d'abord à des situations modèles comme celle de l'oscillateur harmonique amorti isotrope dans l'espace euclidien. On essaiera de formuler une condition nécessaire et suffisante de décroissance uniforme exponentielle de l'énergie, grâce à des méthodes semi-classiques. On s'intéressera ensuite aux questions de la décroissance semi-uniforme et de la localisation du spectre de l'opérateur des ondes amorties. D'une part, il s'agit d'étudier la stabilisation des grandes structures vibrantes (ponts, ailes d'avion, train...). On espère pouvoir déterminer sous quelles conditions sur sa localisation un amortissement est efficace (décroissance exponentielle) ou au contraire peu efficace (décroissance logarithmique). On peut d'autre part envisager (à long terme) des applications en optique quantique puisqu'une partie des travaux de cette thèse viseront à comprendre les questions de concentration/délocalisation de l'énergie des solutions de l'équation de Schrödinger.

This PhD project aims to understand the energy decay rates for the damped wave equation in unbounded domains. Firstly, we will be interested in toy models such as the damped isotropic harmonic oscillator in the Euclidean space. We will try to prove a necessary and sufficient condition for uniform exponential decay to hold, by means of semiclassical methods. Next we will investigate questions related to semi-uniform decay and localization properties for the spectrum of the damped wave operator. One the one hand, this proposal concerns the stabilization of large vibrating structures (bridge, plane wing, train...). We wish to be able to find out under which conditions a damping process will be efficient (exponential decay) or, on the contrary, ineffective (logarithmic decay), according to the localization properties of the damping coefficient. On the other hand, one can consider long-term applications of this study in the field of quantum optics, since part of the research work will be related to the concentration/delocalization of the energy of solutions to the Schrödinger equation.