Laminations géodésiques, géométrie Anti-de Sitter et transition géométrique

Geodesic laminations, Anti-de Sitter geometry and geometric transition

• Auteur / Autrice : Farid Diaf
• Direction : Gérard Besson, Andrea Seppi
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 04/04/2025
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier
• Jury : Président / Présidente : Herve Pajot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gerard Besson, Andrea Seppi, François Gueritaud, Sara Maloni, Jean-marc Schlenker, Yilin Wang
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Gueritaud, Jeffrey Danciger

Mots clés

Mots clés libres

Théorie de Teichmüller

X)-structures

Surfaces minimales

Géométrie lorentzienne

(g

X)-structures

Lorentzian geometry

Minimal surfaces

(g

Teichmüller theory

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie duale de l'espace de Minkowski en dimension 3, également appelée espace textit{half-pipe}. Nous présentons deux projets impliquant l'étude de cette géométrie. Le premier projet concerne le problème de transition géométrique entre la géométrie hyperbolique et la géométrie anti-de Sitter. Nous démontrons le résultat suivant : étant donnée une surface $Sigma$ de caractéristique d'Euler négative, homéomorphe à une surface fermée, éventuellement avec un nombre fini de points retirés, nous présentons une méthode permettant de construire une grande classe d'exemples de transitions géométriques des structures hyperboliques aux structures anti-de Sitter via la géométrie half-pipe sur la 3-variété $Sigma times mathbb{S}^1$, avec des singularités coniques le long d'un entrelacs. L'ingrédient principal réside dans l'étude de la déformation d'une structure de coeur convexe lorsque les laminations de plissage du bord du coeur convexe convergent uniformément vers zéro. Dans le second projet, nous étudions une relation entre l'espace half-pipe et les champs de vecteurs sur le plan hyperbolique. En utilisant cette relation, nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. Premièrement, nous prouvons que tout champ de vecteurs continu sur le cercle est l'extens-ion d'un unique tremblement de terre infinitésimal sur le plan hyperbolique. De plus, nous obtenons d'autres résultats d'extension lorsque le champ de vecteurs est supposé être uniquement semi-continu supérieurement ou inférieurement. Cela conduit à une généralisation des théorèmes des tremblements de terre infinitésimaux de Kerckhoff et Gardiner à un cadre plus large, en utilisant une approche entièrement nouvelle. De cette manière, nous obtenons une caractérisation simple des champs de vecteurs de Zygmund sur le cercle en termes d'épaisseur des enveloppes convexes. Ensuite, nous étudions une correspondance entre les surfaces lisses de type espace dans l'espace half-pipe $HP$ et les champs de vecteurs de divergence nulle sur le plan hyperbolique $mathbb{H}^2$. En particulier, nous montrons que les champs de vecteurs harmoniques lagrangiens sur $mathbb{H}^2$ sont liés aux surfaces moyennes dans $HP$. Par conséquent, nous prouvons que l'extension infinitésimale de Douady-Earle est un champ de vecteurs harmonique lagrangien correspondant à une surface moyenne dans $HP$ avec une condition au bord donnée. Nous établissons à la fois des résultats d'existence et, sous certaines conditions, d'unicité pour les extensions harmoniques lagrangiennes d'un champ de vecteurs sur le cercle. Enfin, nous fournissons d'autres caractérisations des champs de vecteurs Zygmund et petit Zygmund, ainsi que des estimations quantitatives en termes d'épaisseur des coeurs convexes dans l'espace half-pipe.

This thesis is dedicated to the study of the dual geometry of Minkowski space in dimension 3, also called textit{half-pipe} space. We present two projects involving the study of this geometry. The first project takes place in the context of geometric transition between hyperbolic geometry and anti-de Sitter geometry. We prove the following result: given a surface $Sigma$ with negative Euler characteristic, homeomorphic to a closed surface, possibly with a finite number of punctures, we present a method for constructing a large class of examples of geometric transitions from hyperbolic structures to anti-de Sitter structures via half-pipe structures on the three-manifold $Sigma times mathbb{S}^1$, with conical singularities along a link. The main ingredient lies in the study of the deformation of a convex core structure when the bending laminations of the boundary of the convex core uniformly collapse to zero. In the second project, we study a relationship between half-pipe space and vector fields on the hyperbolic plane. Using this relationship, we obtain several results in this direction. First, we prove that any continuous vector field on the circle is the extension of a unique infinitesimal earthquake on the hyperbolic plane. Additionally, we obtain other extension results when the vector field is assumed to be only upper or lower semi-continuous. This leads to a generalization of Kerckhoff and Gardiner's infinitesimal earthquake theorems to a broader setting, using an entirely new approach. In this way, we obtain a simple characterization of Zygmund vector fields on the circle in terms of the width of convex hulls. Next, we study a correspondence between smooth spacelike surfaces in half-pipe space $HP$ and divergence-free vector fields on the hyperbolic plane $mathbb{H}^2$. In particular, we show that harmonic Lagrangian vector fields on $mathbb{H}^2$ are related to mean surfaces in $HP$. Consequently, we prove that the infinitesimal Douady-Earle extension is a harmonic Lagrangian vector field corresponding to a mean surface in $HP$ with prescribed boundary data at infinity. We establish both existence results and, under certain conditions, uniqueness for harmonic Lagrangian extensions of a vector field on the circle. Finally, we provide further characterizations of Zygmund and little Zygmund vector fields, as well as quantitative bounds in terms of the width of convex cores in half-pipe space.