Contexte algébrique d'applications des algèbres de Hopf combinatoires

Algebraic context for combinatorial Hopf algebras applications

• Auteur / Autrice : Pierre Catoire
• Direction : Loic Foissy
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 30/09/2024
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences, Technologie, Santé
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph LIOUVILLE
• Jury : Président / Présidente : Jean-Christophe Novelli
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Loic Foissy, Viviane Pons, Jean Fromentin, Pierre-Louis Giscard, Dominique Manchon, Bérénice Delcroix-oger, Maria Ronco
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Viviane Pons, Jean-Christophe Novelli

Mots clés

Mots clés libres

Algèbres de Hopf

Algèbres Post-Hopf

Tridendriforme

Algèbres Post-Lie

Bigèbre double

Arbres

Hopf algebras

Post-Hopf algebras

Tridendriform

Post-Lie algebras

Double bialgebra

Trees

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés algébriques de certaines algèbres de Hopf combinatoires utilisées dans divers domaines des mathématiques comme la théorie des probabilités libres, la géométrie différentielle, la théorie des champs quantiques, la combinatoire, la théorie des représentations, l’analyse numérique, la recherche de solution aux équations de Rota-Baxter et de Yang-Baxter... Nous nous intéres- serons au cas des algèbres tridendriformes libres décrites par les arbres de Schröder utilisées en théorie des probabilités libres ou à l’étude des algèbres de Rota-Baxter. On munira cette algèbre d’une structure d’algèbres de Hopf grâce à des coups admissibles. Nous effectuerons également son étude algébrique précise. Puis, on donnera une piste de structure de bigèbre double pour les matroïdes dans le but de récupérer de profondes propriétés combinatoires sur ces objets. Nous en trouverons une sur un certain espace de « matrices » à coefficient dans un monoïde. Enfin, nous nous arrêterons sur les algèbres Post-Hopf utilisées principalement en géométrie différentielle pour résoudre des équations différentielles sur des chemins dit rugueux. Nous retrouverons un analogue au théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore dans ce contexte avec ou sans éléments de type groupe.

In this thesis, we will study algebraic properties of some Hopf algebras used in other fields of mathematics like free probability theory, differential geometry, quantum field theory, combinatorics, representation theory, numerical analysis, the search of Yang-Baxter and Rota-Baxter solutions... We will spend some time to study of free tridendriform algebras described by Schroeder trees used in free probability theory or in the study of Rota-Baxter algebras. We give it a structure of a Hopf algebra with a coproduct made of admissible cuts. We also make a precise algebraic strudy of this object. Then, we will give some clues in order to build a structure of double bialgebra over matroids in an attempt to get some deep combinatorial information about these objects. We will give at a structure of double bialgebra over some “matrices” with coefficients in a monoid. Finally, we will study Post-Hopf algebras used as a tool in differential geometry in order to solve differential equations over rough paths. We will find some analoguous to the Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem in this theory with group-like elements or not.