Géométrie et préquantification des variétés 2-plectiques

Geometry and prequantisation of 2-plectic manifolds

• Auteur / Autrice : Gabriel Sevestre
• Direction : Tilman Wurzbacher
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 24/06/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tilmann Wurzbacher, Konrad Waldorf, Marco Zambon, Camille Laurent-gengoux, Simone Gutt, Lang Honglei
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Konrad Waldorf, Marco Zambon

Mots clés

Mots clés libres

Multisymplectique

2-plectique

Préquantification

Multisymplectic

2-plectic

Prequantisation

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude des variétés multisymplectiques et plus particulièrement 2-plectiques, avec un accent mis sur la préquantification de ces derniers objets. Après avoir donné les définitions et concepts généraux associés aux variété multisymplectiques, on dresse la liste des objets géométriques associés à la troisième classe de cohomologie à valeurs entières d'une variété, afin de mieux comprendre les structures qui entrent en jeu lors de l'étude de la préquantification des variétés 2-plectiques. On démontre ensuite, qu'étant donnée une variété 2-plectique intégrale, la Lie 2-algèbre des observables associée est quasi-isomorphe à la Lie 2-algèbre des symétries infinitésimales faibles, construite à partir de la gerbe préquantifiante, dont la 3-courbure est la 3-forme de départ. Ce résultat est une généralisation directe du résultat bien connu de la préquantification symplectique, qui donne un isomorphisme entre l'algèbre de Poisson des observables symplectiques et l'algèbre de Lie des champs de vecteurs qui respectent la connection sur le fibré préquantifiant associé à une variété symplectique intégrable. Enfin, on donne une démonstration détaillée d'un théorème de Geoffrey Martin, qui, sous certaines hypothèses, donne une forme normale pour une variété multisymplectique. Ce résultat est la généralisation d'un théorème bien connu d'Alan Weinstein, donnant la forme normale d'une forme symplectique autour d'une sous-variété Lagrangienne.

This thesis is dedicated to the study of multisymplectic manifolds, and in particular, 2-plectic manifolds, with an emphasis towards 2-plectic prequantisation. We first give the general definitions and associated concepts concerning multisymplectic manifolds. Then, we give a list of the geometric objects associated to the third integral cohomology class of a manifold, in order to obtain a better understanding of the structures involved when studying 2-plectic prequantisation. Then we show that, given a 2-plectic integral manifold, the associated Lie 2-algebra of observables is quasi-isomorphic to the Lie 2-algebra of weak infinitesimal symmetries, constructed with the data of the prequantising bundle gerbe, whose 3-curvature equals the 2-plectic form itself. This result generalizes a well-known fact of symplectic geometry, namely that the Poisson algebra of observables is isomorphic to the Lie algebra of vector fields that preserve the connection on the prequantising circle bundle associated to an integral symplectic manifold. Finally, we give a detailed proof of a theorem of Geoffrey Martin, which, under certain hypotheses, gives a normal form for a multisymplectic structure. This result is a generalisation of a well-known theorem of Alan Weinstein, which gives a normal form for a symplectic manifold near a Lagrangian submanifold.