Estimations uniformes pour des problèmes de transmission à changement de signe: Liens avec les triplets de frontière et la quantification de l'incertitude.

par Hassan Mohsen

Projet de thèse en Mathématiques

Sous la direction de Victor Nistor et de Simon Labrunie.

Thèses en préparation à l'Université de Lorraine , dans le cadre de IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES , en partenariat avec IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine (laboratoire) et de EDP (equipe de recherche) depuis le 29-09-2017 .


  • Résumé

    Présentation du domaine: Il s'agit d'étudier des opérateurs différentiels sur des variétés riemanniennes singulières et leurs applications. Parmi les opérateurs les plus importants, on trouve les opérateurs de Laplace et de Dirac. Il y a beaucoup de connexions entre les deux types d'opérateurs, à cause de la formule de Lichnerowicz, un mathématicien français du dernier siècle. Pourtant, les opérateurs de Laplace ont été beaucoup plus étudiés que les opérateurs de Dirac. Les opérateurs de Dirac, aussi appelé opérateurs d'Atiyah--Singer, sont des opérateurs fondamentaux dans la géométrie riemannienne et dans la théorie de l'indice. Ce sont des opérateurs associés à une métrique et à un fibré de Clifford doté d'une connexion admissible. Leurs généralisations est l'objet principal dans la théorie de Kasparov, qui est un utile fondamental dans les algèbres d'opérateurs. Il y a beaucoup de gens qui pensent que les opérateurs de Dirac joueront un rôle central dans le programme de Grothendieck: généraliser le théorème de Riemann--Roch aux variétés algébriques singulières. Les opérateurs de Dirac ont donc été beaucoup étudiés dans les mathématiques fondamentales, ainsi que dans ces applications. Les opérateurs de Maxwell et de de Rham sont des cas particuliers des opérateurs de Dirac. Les opérateurs de Dirac apparaissent dans beaucoup d'applications dans d'autres domaines des mathématiques et physique théorique, comme la théorie des champs dans l'espace-temps courbe ou la théorie de la relativité générale. Ces opérateurs constituent donc un lien entre les mathématiques fondamentales et ces applications. Sujet de thèse: Il y a beaucoup de résultats sur l'analyse des opérateurs de Dirac, mais la plupart d'eux sont sur des variétés compactes lisses, avec ou sans bord. Cependant, il est important d'étudier ces opérateurs pour des variétés non compactes ou non lisses. Par exemple, les applications aux variétés algébriques et au programme de Grothendieck nécessitent le cas non lisse. Le sujet que nous proposons est d'utiliser les résultats et les techniques introduites par Monique Dauge et ses collaborateurs pour étudier les singularités des opérateurs de Dirac dans un domaine polyédrique et d'autres domaines singuliers. Un problème particulier est d'obtenir l'application au calcul de l'homologie de de Rham avec des complexes finis, comme dans les travaux récents de Douglas Arnold. Pour la régularité des solutions de l'équation de Dirac, nous proposons d'utiliser les méthodes introduites récemment par Bernd Amman et Nadine Grosse ou par Victor Nistor et Nadine Grosse dans des articles récents. Nous allons étudier aussi les opérateurs de Dirac avec des potentiels et terms non linéaires. Un problème concret ici est d'étudier de modèles non linéaires couplés avec Maxwell, par exemple les modèles de magnéto-hydrodynamique et l'équation de Vlasov--Maxwell.

  • Titre traduit

    Uniform estimates for sign-changing transmission problems: Links with boundary triples and uncertainty quantification.


  • Résumé

    General description of the domain. The general question that will be pursued as part of the thesis will be to study differential operators on Riemannian spaces and their applications. The Laplace and Dirac operators are among the most important differential operators arising in applications. There are many connections between these two types of operators, due to Lichnerowicz' formula, a French mathematician of the last century. However, Laplace operators have been much more studied than the Dirac operators. Dirac operators, also called Atiyah--Singer operators, are fundamental operators in Riemannian geometry and in index theory. These operators are associated to a metric and a Clifford bundle with an admissible connection. Their generalizations are the main object in Kasparov's theory, which is a fundamental theory in Operator Algebras. It is believed that the Dirac operators will play a central role in Grothendieck's program to generalize the Riemann--Roch theorem to singular algebraic varieties. Dirac operators have therefore been much studied in theoretical mathematics, as well as in its applications. The Maxwell and de Rham operators are special cases of Dirac operators. Dirac operators appear in many applications in other domains of mathematics and theoretical physics, such as field theory in curved space-time or the theory of general relativity. These operators are thus a link between the fundamental mathematics and its applications. Theses subject: There are many results on the analysis of the Dirac operators, but most of them are on smooth compact varieties, with or without boundary. However, it is important to study these operators for non-compact or non-smooth spaces (or varieties). For example, applications to algebraic varieties and to the Grothendieck program require the case of non smooth varieties. The subject we propose to use the results and the techniques introduced by Monique Dauge and her collaborators to study the singularities of the Dirac operators in a polyhedral domain and other singular domains. A particular problem is to obtain the application to the calculation of de Rham's homology with finite complexes, as in the recent works of Douglas Arnold. For the regularity of the solutions of the Dirac equation we propose to use the methods recently introduced by Bernd Amman and Nadine Grosse or by Victor Nistor and Nadine Grosse in recent articles. The thesis will also study the Dirac operators with nonlinear terms and potentials. A concrete problem here is to study nonlinear models coupled with Maxwell's equation, which arrise, for example in magneto-hydrodynamic models and in the Vlasov-Maxwell equation.