Phénomènes de concentration pour des équations elliptiques surcritiques

Concentration phenomena for supercritical elliptic equations

• Auteur / Autrice : Hussein Mesmar
• Direction : Frédéric Robert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Jérôme Vétois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Robert, Jean Van Schaftingen, Roberta Musina, Caterina Valcu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérôme Vétois, Ali Fardoun

Mots clés

Mots clés contrôlés

Points critiques, Théorie des (analyse mathématique)

Sobolev, Inégalités de

Isométrie (mathématiques)

Équations différentielles elliptiques

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

EDP elliptique

Phénomènes de concentration

Puissance surcritique

Elliptic PDE

Analysis of PDEs

Blow-Up

Résumé

Cette thèse présente divers aspects de la résolution d'équations aux dérivées partielles non linéaires avec exposant surcritique de Sobolev, sur des variétés Riemanniennes compactes à bord et sans bord. Une méthode pour étudier des problèmes surcritiques est d'imposer des invariances par un groupe d'isométrie. On va donc se donner un sous-groupe du groupe d'isométries de notre variété principale. Dans le cas trivial d'une action libre et fidèle, le quotient de la variété par ce groupe est une variété lisse de dimension inférieure. Ainsi, en étudiant un problème invariant par un tel groupe, on se ramène de façon artificielle à un problème critique sur la variété quotient qui est de dimension inférieure. Dans notre travail, nous allons considérer le cas plus difficile de groupes qui n'agissent ni librement ni fidèlement: le problème sera alors que le quotient ne sera plus une variété, et les techniques précédentes ne fonctionneront plus. Des hypothèses sur ce groupe seront explicitées. Dans la première partie, nous déterminons la meilleure constante dans les inégalités de Hardy-Sobolev avec invariance par un tel groupe d'isométries: cette constante dépend de la meilleure constante euclidienne correspondante. Cette meilleure constante nous permet d'obtenir des solutions de l'équation de Hardy-Sobolev perturbée via le Lemme du Col d'Ambrosetti-Rabinowitz. Dans la deuxième partie, nous effectuons une analyse du phénomène de concentration d'une famille de solutions de l'équation surcritique avec invariances. Sous des hypothèses adaptées, nous montrons que l'orbite de concentration converge très rapidement vers l'orbite limite, ce qui nous permet par la suite de montrer une relation entre le potentiel et la géométrie de la variété en l'orbite de concentration.

In this manuscript, we present several aspects of the resolution of nonlinear elliptic partial differential equations with supercritical Sobolev exponent. We are considering the context of a compact Riemannian manifolds and we fix a subgroup of the isometries of this manifold. Taking a problem invariant under the action of this group permits to get a reasonable supercritical problem. More precisely, if the action of such a group is free, the quotient is also a smooth manifold: this transforms a supercritical problem on the initial manifold into a critical problem on the quotient manifold. Therefore, under this free-action hypothesis, the problem is artificially supercritical. In our work, we consider the more intricate case of a group that does not act freely, so that the quotient space is not necessarily a manifold, and the preceding method fails. We make explicit hypothesis on the group to be able to perform some analysis. In the first part, we compute the best constant in the Hardy-Sobolev supercritical inequalities with invariance under such a group: this constant depends on the corresponding Euclidean best constant. This constant allows us to get solutions to a supercritical Hardy-Sobolev equation with perturbation via the Mountain-Pass Lemma of Ambrosetti-Rabinowitz. In the second part, we perform an analysis of the concentration phenomenon associated with a supercritical problem, still invariant under the action of an isometry group. The main novelty we have to face is that we have to work on a piece of the quotient which is a manifold, but it has a boundary, and we do not have conditions like Dirichlet or Neumann here. However, we overcome this problem by proving a concentration of the mass that allows to get a good control far from the concentration orbit. Under suitable nondegeneracy assumptions, we show that the concentration orbit converges very fast to a limiting orbit. This allows to get a relation between the potential and the geometry at the concentration orbit, so that we get a localization of the concentration. Despite they are geometric in nature, our technique enjoy applications to the more classical context of nonlinear equations on a domain of the flat space.