Tests optimaux pour détecter les signaux faibles dans les séries chronologiques

Optimal tests for weak signals detection in time series

• Auteur / Autrice : Marwa Ltaifa
• Direction : Joseph Ngatchou Wandji, Khalifa El Mabrouk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/10/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Sousse (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Clément Dombry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joseph Ngatchou Wandji, Khalifa El Mabrouk, Madalina Olteanu, Sana Louhichi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Madalina Olteanu, Sana Louhichi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Séries chronologiques

Processus stationnaires

Rupture (statistique)

Mots clés libres

Contiguité

Stationnaire par morceaux

Ruptures

Contiguity

Piecewise stationarity

Breaks

Résumé

Cette thèse s'intéresse à la construction de tests localement asymptotiquement optimaux pour détecter les ruptures dans la moyenne des modèles Conditional Heteroskedastic AutoRegressiveNonlinear (CHARN) décrits par l'équation stochastique suivante : begin{equation} X_t=T(Z_{t-1})+gamma^{top}omega(t)+V(Z_{t-1})varepsilon_t,quad tinzz, end{equation} où «gamma=(gamma_1,ldots,gamma_k,gamma_{k+1})^{top} inrr^{k+1}» et pour «t_1,ldots,t_k,» «1< t_1<ldots<t_k<n,» omega(t)=(mathds{1}_{tin[1,t_1[},mathds{1}_{tin[t_1,t_2[},ldots,mathds{1}_{tin[t_{k},n[})^{top}inlbrace 0,1rbrace^{k+1},» «(X_t)_{tinzz}» est un processus stationnaire par morceaux et ergodique, «(varepsilon_t)_{tinzz}» est un bruit blanc centré réduit de densité «f», pour tout «tinzz,» «Z_t=(X_t,ldots,X_{t-p+1})^{top}», «pinnn,» et «T» et «V» sont des fonctions réelles telles que «V(x)>0,forall xinrr^p» et «n» le nombre des observations. Le modèle (1) contient une large classe de modèles de séries chronologiques comme les modèles AR, MA, ARMA, ARIMA, ARCH etc. L'attention est portée aux petites ruptures. Celle difficilement observables à l'œil nu, contrairement à celles considérées dans la littérature. Une telle étude ne semble pas avoir déjà été réalisée dans le contexte des séries chronologiques. Le test étudié est celui du rapport de vraisemblance, pour tester ««H_0:gamma=gamma_0text{ contre } H^{(n)}_beta:gamma=gamma_0+dfrac{beta}{sqrt{n}}=gamma_{n},quad n>1,»« pour «gamma_0inrr^{k+1}» et «betainrr^{k+1}» caractérisant respectivement la situation où il n'y a pas de rupture, et celle où il y a au moins une rupture à trouver. Ce document est organisé comme suit : Le chapitre 1 constitue l'introduction générale de la thèse. Y sont rappelés quelques notions et outils fondamentaux utiles. Le chapitre 2 fait l'état de l'art sur la détection des ruptures dans les séries chronologiques. Ce chapitre est divisé en deux parties. La première concerne l'estimation des ruptures et leurs localisations. La deuxième concerne les tests d'existence de points de ruptures. Le chapitre 3 traite le cas où les fonctions «T» et «V» sont connues et lorsqu'elles sont connues mais dépendant de paramètres inconnus. Dans ce dernier cas, la situation où le paramètre «gamma_0» est connu et celle où il est inconnu sont étudiées. Dans le cas où il est inconnu, il est estimé par la méthode du maximum de vraisemblance. L' du test étude est basée essentiellement sur la propriété locale asymptotique (LAN) énoncée par exemple dans cite{droesbeke1996}. Le chapitre 4 est une généralisation du chapitre 3. Ici, l'amplitude du saut est quelconque et inconnue. Il s'agit donc de tester ««H_0:gamma=gamma_0text{ contre }H^{(n)}=displaystylebigcup_{betainrr^{k+1}}^{}{ H^{(n)}_beta}.»« Un test de type Cramer-Von-Mises est construit. Les techniques de cite{ngatchou2009} sont utilisées pour trouver la loi asymptotique du test sous l'hypothèse alternative. Le chapitre 5 présente des résultats numériques faites en utilisant le logiciel R. Les résultats obtenus pour des données simulées sont d'abord présentés et commentés. Viennent ensuite ceux des applications à plusieurs jeux de données réelles. Le chapitre 6 conclut la thèse et dégage les perspectives pour la suite.

This thesis focuses on the construction of locally asymptotically optimal tests to detect breaks in the mean of Conditional Heteroskedastic AutoRegressive Nonlinear (CHARN) models described by the following stochastic equation: begin{equation} X_t=T(Z_{t-1})+gamma^{top}omega(t)+V(Z_{t-1})varepsilon_t,quad tinzz, end{equation} where «gamma=(gamma_1,ldots,gamma_k,gamma_{k+1})^{top} inrr^{k+1}» and for «t_1,ldots,t_k,» «1< t_1<ldots<t_k<n,» «omega(t)=(mathds{1}_{tin[1,t_1[},mathds{1}_{tin[t_1,t_2[},ldots,mathds{1}_{tin[t_{k},n[})^{top}inlbrace 0,1rbrace^{k+1},» «(X_t)_{tinzz}» is a piecewise, ergodic stationary process, «(varepsilon_t)_{tinzz}» is a standard white noise with density «f», for any «tinzz,» «Z_t=(X_t,ldots,X_{t-p+1})^{top}», «pinnn,» and «T» and «V» are real functions such as «V(x)>0,forall xinrr^p» and «n» the number of observations. The model (2) contains a large class of time series models like AR, MA, ARMA, ARIMA, ARCH etc. Attention is paid to small breaks. Those which are difficult to observe with the naked eye, unlike those considered in the literature. Such a study does not appear to have already been carried out in the context of time series. The test studied is the likelihood ratio test to test ««H_0:gamma=gamma_0text{ against } H^{(n)}_beta:gamma=gamma_0+dfrac{beta}{sqrt{n}}=gamma_{n},quad n>1,»« for «gamma_0inrr^{k+1}» and «betainrr^{k+1}» characterizing respectively the situation where there is no break, and that where there is at least one break to be found. This document is organized as follows: Chapter 1 constitutes the general introduction to the thesis. There, some useful basic concepts and tools are recalled. Chapter 2 reviews the state of the art on the detection of breaks in time series. This chapter is divided into two parts. The first concerns the estimation of breaks and their locations. The second concerns the tests for the existence of break-points. Chapter 3 deals with the case where the functions « T « and « V « are known, and when they are known but depend on unknown parameters. In the latter case, the situation where the parameter « gamma_0 « is known and the one where it is unknown are studied. When it is unknown, it is estimated by the maximum likelihood method. The study of the test is based essentially on the asymptotic local property (LAN) stated for example in cite{droesbeke1996}. Chapter 4 is a generalization of chapter 3. Here, the magnitude of the jump is arbitrary and unknown. Therefore, one has to test ««H_0:gamma=gamma_0text{ against }H^{(n)}=displaystylebigcup_{betainrr^{k+1}}^{}{ H^{(n)}_beta}.»« A Cramer-Von-Mises type test is constructed. The techniques of cite{ngatchou2009} are used to find the asymptotic distribution of the test under the alternative hypothesis. Chapter 5 presents numerical results obtained using software R. The results obtained for simulated data are first presented and commented. This is followed by those for applications with several real datasets. Chapter 6 concludes the thesis and sets out some prospects.