Thèse en cours

Calcul pseudodifférentiel sur les variétés filtrées et applications à la géométrie et l'analyse harmonique
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Triangle exclamation pleinLa soutenance a eu lieu le 20/09/2023. Le document qui a justifié du diplôme est en cours de traitement par l'établissement de soutenance.
Auteur / Autrice : Clément Cren
Direction : Jean-Marie Lescure
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Inscription en doctorat le
Soutenance le 20/09/2023
Etablissement(s) : Paris 12
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Jury : Président / Présidente : Claire Debord
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Marie Lescure, Georges Skandalis, Iakovos Androulidakis, Clothilde Fermanian kammerer, Jean-Michel Bismut, Omar Mohsen, Nigel Higson
Rapporteurs / Rapporteuses : Georges Skandalis, Iakovos Androulidakis, Nigel Higson

Résumé

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Cette thèse présente l'étude de trois différentes questions liées au calcul pseudodifférentiel sur les variétés filtrées et ses applications. Le premier chapitre est une introduction. Le deuxième consiste en des préliminaires sur les groupoïdes, les variétés filtrées et leur calcul pseudodifférentiel et les représentations des groupes de Lie nilpotents. Le chapitre 3 présente l'extension d'une construction de Debord et Skandalis aux variétés filtrées. Comme corollaire de la preuve nous obtenons une décomposition de l'algèbre des symboles en une suite d'idéaux imbriqués dont les sous-quotients sont isomorphes à des algèbres de fonctions continues sur des espaces compacts à valeurs dans des algèbres d'opérateurs compacts. Ce résultat étend celui d'Epstein et Melrose sur les variétés de contact. Dans le chapitre 4 nous introduisons la notion de variété feuilletée filtrée, ce sont des variétés feuilletées dont l'espace des feuilles possède une structure de variété filtrée. Nous définissons dans ce contexte une condition de Rockland transverse. A un opérateur pseudodifférentiel satisfaisant cette condition nous associons plusieurs classes de KK-théorie et montrons une relation de dualité de Poincaré entre ces classes. Le chapitre 5 pousse ces idées plus loin dans le but de définir une suite de Bernstein-Gelfand-Gelfand transverse pour les variétés feuilletées avec une géométrie parabolique transverse au sens de Cartan. Nous montrons que ces suites d'opérateurs satisfont la condition de Rockland transverse en un sens gradué, de même que le complexe de de Rham transverse tordu utilisé pour construire les suites BGG. Dans le cas plat nous montrons un isomorphisme entre les cohomologies des deux complexes.