Méthodes de flot par disques en géométrie, du continu au discret.

Disk flow methods in geometry, from continuous to discrete.

• Auteur / Autrice : Jean Chartier
• Direction : Stéphane Sabourau, Laurent Hauswirth, Arnaud de Mesmay
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2020
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

Mots clés

Mots clés libres

Flot par disques

Géométrie riemannienne

Sphères polyédrales

Filets stationnaires

Disk flow

Riemannian geometry

Polyhedral spheres

Stationnary nets

Résumé

Les méthodes de balayage ont une riche histoire en géométrie riemanienne, remontant au moins à Birkhoff qui a introduit l'idée de balayer une 2-sphère par une famille de courbes, puis, en utilisant son processus de raccourcissement de courbes sur ce balayage, a établi le premier résultat d'existence d'une géodésique fermée sur une sphère. Cette méthode de min-max -- on vise à étudier un balayage minimisant la longueur maximale des courbes -- est à l'origine d'une lignée majeure de travaux, encore active, comprenant le théorème célèbre de Lyusternik et Schnirelmann sur l'existence de trois géodésiques distinctes sur une sphère, et est à la base de nombreuses percées récentes comme la résolution de la conjecture de Wilmore par Marques et Neves, ou de la conjecture de Yau par Antoine Song. Si les balayages linéaires permettent d'établir l'existence de géodésiques et de surfaces minimales, ils ne permettent pas toujours de contrôler correctement la longueur de ces objets extrémaux. C'est le cas en particulier des géodésiques fermées sur une 2-sphère riemannienne : on peut montrer qu'il existe toujours une telle géodésique de longueur environ la racine de l'aire, mais une telle géodésique ne sera pas en général simple. Le balayage utilisé pour obtenir une telle borne n'est pas linéaire mais plutôt arborescent: on peut le décrire comme une application continue f de S vers T, où T est un arbre trivalent, et où chaque fibre a la topologie soit d'un point, soit d'un cycle simple fermé, soit d'un graphe simple homéomorphe à la lettre Theta. De tels balayages permettent aussi d'obtenir des inégalités de découpage, par exemple pour trouver un court cycle découpant une 2-sphère en deux morceaux contenant chacun au moins un tiers de l'aire. Pour ces raisons, de nombreux travaux récents ont étudié de tels balayages arborescents dans le but d'obtenir de bonnes bornes sur la taille de leurs fibres, mais il existe encore un écart significatif entre les bornes supérieures et inférieures. Conjecture: En 1994, F. Morgan et J. Hass ont montré l'existence sur une 2-sphère convexe d'un réseau de géodésiques en forme de théta, séparant ainsi la sphère en 3 domaines de courbure totale égale. Un tel réseau de géodésiques existe-t-il sur n'importe quelle 2-sphère riemanienne ? Ce problème est l'équivalent de la conjecture de Yau sur les réseaux et devrait pouvoir se résoudre à l'aune des travaux de Song. En dimensions supérieure, la résolution de cette conjecture devrait permettre de décider de l'existence ou de la non existence d'un réseau de surfaces minimales modelées sur la géométrie d'une double bulle de Savon. Dans l'optique d'étudier cette conjecture, il est naturel de considérer des balayages trivalents. L'objectif est ici de pousser ces études pour obtenir des résultats d'existence généraux, ainsi que des bornes quantitatives sur la taille des réseaux résultants. Plus largement, une compréhension plus fine des balayages trivalents permettrait de résoudre des problèmes d'existences de réseaux de géodésiques en général, ainsi que de se rapprocher de la borne optimale pour le problème de la plus courte géodésique à aire constante. D'autre part, existe-t-il des réseaux géodésiques de plus en plus denses dans la sphère ? Existe-il des amas de mousse dense dans une 3-sphère compacte? Un des objectifs de cette thèse est également d'explorer et d'exploiter des connexions entre les balayages riemanniens et ceux utilisés en théorie des graphes. Cette connexion pourra être exploitée dans les deux directions dans le cadre de cette thèse. Dans un sens, un objectif est donc de développer une théorie similaire aux théories d'obstruction originant des mineurs de graphes dans un cadre riemannien, dans le but d'obtenir des obstructions géométriques naturelles à l'existence de certains balayages. Quelles sont les obtructions géométriques sur la 2-sphère à l'existence de réseaux géodésiques? Dans l'autre sens, on pourra développer des versants discrets des méthodes de min-max dont le succès a été démontré dans le cas riemannien pour renforcer notre compréhension des balayages discrets. Dans une autre direction, l'augmentation de la taille et la topologie des balayages permet d'envisager la construction et l'existence d'une suite de solutions de problèmes de type Min-Max dont les largeurs forment un spectre discret sur une variété. Les solutions s'apparentent ici en comportement aux fonctions propres du Laplacien dont les domaines nodaux seraient séparés par des surfaces minimales qui tendent à se répartir de façon homogène sur toute la variété avec des propriétés ergodiques. Ainsi dans le cadre des réseaux on pourra se pencher sur les propriétés ergodiques des solutions de ces balayages quand ils existent et ont des propriétés de compacité.

The sweeping methods have a rich history in Riemanian geometry, going back at least to Birkhoff who introduced the idea of ​​sweeping a 2-sphere by a family of curves, and then, using his curve-shortening process on this sweep, established the first result of the existence of a closed geodesic on a sphere. This method of min-max - we aim to study a sweep minimizing the maximum length of the curves - is at the origin of a major line of work, still active, comprising the famous theorem of Lyusternik and Schnirelmann on the existence of three distinct geodesics on a sphere, and is at the basis of many recent breakthroughs such as the resolution of the Wilmore conjecture by Marques and Neves, or the Yau conjecture by Antoine Song. While linear scans can establish the existence of geodesics and minimal surfaces, they do not always allow correct control of the length of these extremal objects. This is the case in particular of closed geodesics on a Riemannian 2-sphere: we can show that there always exists such a geodesic of length approximately the root of the area, but such geodesic will generally not be simple. The sweep used to obtain such a bound is not linear but rather tree-like: it can be described as a continuous map f from S to T, where T is a trivalent tree, and where each fiber has the topology of either a point , either of a closed simple cycle, or of a simple graph homeomorphic to the letter Theta. Such sweep also make it possible to obtain cutting inequalities, for example to find a short cycle cutting a 2-sphere into two pieces each containing at least one third of the area. For these reasons, many recent works have studied such tree sweeps in order to obtain good bounds on the size of their fibers, but there is still a significant difference between the upper and lower bounds. Conjecture: In 1994, F. Morgan and J. Hass showed the existence on a convex 2-sphere of a network of geodesics in the shape of a theta, thus separating the sphere into 3 domains of equal total curvature. Does such a network of geodesics exist on any Riemannian 2-sphere? This problem is the equivalent of the Yau conjecture on networks and should be able to be solved by the yardstick of Song's work. In higher dimensions, the resolution of this conjecture should make it possible to decide on the existence or the non-existence of a network of minimal surfaces modeled on the geometry of a double soap bubble. In order to study this conjecture, it is natural to consider trivalent sweeps. The objective here is to push these studies to obtain general existence results, as well as quantitative bounds on the size of the resulting networks. More broadly, a more detailed understanding of trivalent sweeps would make it possible to solve problems of the existence of geodetic networks in general, as well as to get closer to the optimal boundary for the shortest constant-area geodesic problem. On the other hand, are there increasingly dense geodetic networks in the sphere? Are there dense clumps of foam in a compact 3-sphere?