Courbure entropique sur les graphes et log-concavité discrète sur Z^{d}

Notions of curvature on graphs and functional inequalities

• Auteur / Autrice : Martin Rapaport
• Direction : Matthieu Fradelizi, Paul Marie Samson
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2020
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....)

Mots clés

Mots clés libres

Courbure

Graphes

Inégalités fonctionnelles

Entropie

Convexité

Functional inequalities

Graphs

Curvature

Entropy

Convexity

Résumé

Une approche de la courbure discrète est née des travaux de C. Léonard qui développe l'approche flux-gradient du transport optimal et le soulagement au problème de Schrödinger . C. Léonard propose une définition de courbure entropique en terme de propriété de convexité de l'entropie relative le long des ponts de Schrödinger . Cette approche a eté développé par G. Conforti sur les espaces continus et reprise dans les espaces discrets pour P.-M. Samson qui a monté la pertinence de l'approche de Léonard dans discret sur quelques exemples de graphes. Les résultats de courbure obtaus sont en lien avec des propriétés de concentration fines de Talagrand dans les espaces discrets. Par ailleurs, ils fournissent de nouvelles inégalités de Prékopa-Leindler sur les espaces discrets. Les objectifs du projet de thèse sont les suivants: -Mettre en parallèle et développer les liens entre les différentes notions de courbure sur les graphes en s'appuyant sur des exemples. — Etudier la notion de courbure entropique de C. Léonard en discret dans d'autres modèles de graphes, des modèles d'interaction complexes (modèles d'Ising). — Dans l'esprit de la courbure entropique de C. Léonard, définir une notion de courbure-dimension sur les graphes (comme dans le critère de courbure de Bakry- Emery). — Etablir des ponts entre ces notions de courbure sur les graphes et d'autres propriétés géométriques (isopérimétrie discrète, Brunn-Minkovski, courbure algébrique des graphes planaires, nombres de triangles dans le graphe...), des inégalités fonctionnelles (Poincaré, Log-Sobolev, HWI, Poincaré). — Etablir des propriétés de localisation sur de nouveaux exemples de graphes et l'analogue des travaux de Klartag sur les espaces discrets.

An approach to discreet curvature was born from the work of C. Léonard who developed the approach flux-gradient of optimal transport and relief of Schrödinger's problem. C. Léonard proposes a definition of entropic curvature in terms of property of convexity of the relative entropy along the Schrödinger bridges. This approach has was developed by G. Conforti in continuous spaces and used in spaces discreet for P.-M. Samson who demonstrated the relevance of Leonardo's approach in discreet on some examples of graphs. The obtuse curvature results are in link with Talagrand's fine concentration properties in discrete spaces. In addition, they provide new Prékopa-Leindler inequalities on spaces discreet. The objectives of the thesis project are: -Parallel and develop the links between the different notions of curvature on graphs based on examples. - Study the notion of entropic curvature of C. Léonard in discrete in others graph models, complex interaction models (Issing models). - In the spirit of C. Léonard's entropic curvature, define a notion of curvature-dimension on the graphs (as in the criterion of curvature of Bakry- Emery). - Establish bridges between these notions of curvature on graphs and other properties geometric (discrete isoperimetry, Brunn-Minkovski, algebraic curvature planar graphs, numbers of triangles in the graph ...), functional inequalities (Poincaré, Log-Sobolev, HWI, Poincaré). - Establish localization properties on new examples of graphs and analogous to Klartag's work on discrete spaces.