Thèse soutenue

Approximation de l'équation différentielle stochastique avec sauts et convergence en distance de la variation totale
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Auteur / Autrice : Yifeng Qin
Direction : Vlad BallyDan Goreac
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 23/06/2023
Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Jury : Président / Présidente : Dan Crişan
Examinateurs / Examinatrices : Vlad Bally, Dan Goreac, Rainer Buckdahn, Emmanuelle Clément, Juan Li
Rapporteurs / Rapporteuses : Rainer Buckdahn

Résumé

FR  |  
EN

Dans cette thèse, nous considérons l'approximation de la solution de l'équation différentielle stochastique avec des sauts et nous nous concentrons sur la convergence en distance de la variation totale. La principale méthode que nous utilisons est la technique d'intégration par parties dans le calcul de Malliavin. Cette thèse contient trois parties. Dans la première partie, nous voulons obtenir un schéma d'approximation précis pour l'équation de saut. Suivant l'idée de [1], nous remplaçons les "petits sauts" par un mouvement brownien. Nous prouvons que pour chaque temps fixé t, la variable aléatoire approchée X^varepsilon_t converge vers la variable aléatoire originale X_t en distance de variation totale et nous estimons l'erreur. Nous donnons également une estimation de la distance entre les densités des lois des deux variables aléatoires. Dans la seconde partie, nous traitons des équations à sauts de type Mckean-Vlasov et Boltzmann. Cela signifie que les coefficients de l'équation dépendent de la loi de la solution et que l'équation est dirigée par une mesure ponctuelle de Poisson avec une mesure d'intensité qui dépend également de la loi de la solution. Dans [2], Alfonsi et Bally ont prouvé que sous certaines conditions convenables, la solution X_t d'une telle équation existe et est unique. Ils prouvent également que X_t est l'interprétation probabiliste d'une équation faible analytique. De plus, étant donné une partition mathcal{P} de l'intervalle de temps, ils définissent X_t^{mathcal{P}} comme étant le schéma d'Euler associé à mathcal{P}, et prouvent que X_t ^{mathcal{P}} converge vers X_t en distance de Wasserstein. Dans cette thèse, sous des hypothèses plus restreintes, nous montrons que le schéma d'Euler X_t^{mathcal{P}} converge vers X_t en distance de variation totale et X_t a une densité "smooth" (qui est une fonction solution de l'équation faible analytique). D'autre part, en vue de la simulation, nous utilisons un schéma d'Euler tronqué X^{mathcal{P},M}_t qui a un nombre fini de sauts dans tout intervalle compact. Nous prouvons que X^{mathcal{P},M}_{t} converge également vers X_t en distance de variation totale. Enfin, nous donnons un algorithme basé sur un système de particules associé à X^{mathcal{P},M}_t afin d'approximer la densité de la loi de X_t. Des estimations complètes de l'erreur sont obtenues. Dans la troisième partie, nous établissons un cadre abstrait pour l'approximation de la mesure de probabilité invariante d'un semi-groupe de Markov. Suivant l'approche de [4], nous utilisons le schéma d'Euler avec étapes décroissantes (qui est appelé l'algorithme de Langevin non-ajusté dans les littératures de Monte Carlo) pour faire la simulation. Sous certaines "propriétés de Lipschitz exponentielle" et propriétés de régularisation, nous donnons une estimation de l'erreur en distance de la variation totale. Les principaux résultats dans [4] et [3] sont des cas particuliers de notre cadre. Nous appliquons également ce cadre aux processus de saut et obtenons une estimation de l'approximation de la mesure de probabilité invariante en distance de variation totale