Simulations d'écoulements à surface libre avec des méthodes Lagrangienne et Arbitrairement Lagrangienne–Eulérienne

par Martin Ferrand

Projet de thèse en Mécanique des fluides

Sous la direction de Damien Violeau.

Thèses en préparation à Marne-la-vallée, ENPC , dans le cadre de École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement , en partenariat avec CEREA (laboratoire) depuis le 23-02-2021 .


  • Résumé

    Les écoulements à surface libre peuvent présenter des aspects très différentes dans l'environnement et l'industrie. Il peut s'agir d'une surface tranquille, régulière mathématiquement parlant, avec des vagues dont on peut vouloir extraire de l'énergie renouvelable, ou encore d'une surface, lisse également, d'une piscine s'évaporant suite à une défaillance des pompes de recirculation, ou enfin d'un écoulement dans un déversoir de barrage avec une surface libre vraiment perturbée et complexe dans sa forme et sa topologie. Les approches lagrangiennes et / ou eulériennes peuvent être utilisées pour résoudre les équations discrétisées de Navier-Stokes avec une surface libre. Parmi les méthodes lagrangiennes, l'hydrodynamique des particules lissées (en anglais « Smoothed Particule Hydrodynamics » SPH) est une méthode numérique sans maillage idéale pour simuler des phénomènes potentiellement violents de surface libre très déformée tels qu'une vague déferlante ou un déversoir de barrage pour lequel de nombreuses méthodes eulériennes peuvent être difficiles à appliquer. Les écoulements à surface libre réguliers peuvent également être traités avec la méthode des volumes finis sur maillage déformable avec une approche arbitrairement lagrangienne eulérienne (ALE), où les faces de surface libre du maillage se déplacent de sorte que la condition aux limites cinématique soit vérifiée. Le premier chapitre a pour objectif de présenter les méthodes volumes finis ALE et SPH et d'en établir des liens. Pour SPH, la gestion des conditions aux limites (murs et frontières ouvertes) est l'une des parties les plus difficiles car elle est déclarée comme l'un des grands défis de l'organisation internationale représentant la communauté des chercheurs et des utilisateurs industriels de l'hydrodynamique des particules lissées (SPHERIC). Concernant les murs, diverses approches ont été développées parmi (i) les forces répulsives telles que celle de Lennard-Jones, qui est efficace pour donner des limites imperméables mais conduit à des comportements non physiques, (ii) des particules fictives (ou fantômes) qui fournissent un meilleur comportement physique au voisinage d'un mur mais sont difficiles à définir pour des géométries complexes et (iii) une approche semi-analytique telle que Kulasegaram et al. (2004a) qui consiste à renormaliser le champ de densité près d'un mur plein par rapport à la zone de support de noyau manquante. La partie SPH de ce travail étend cette méthodologie semi-analytique, où des opérateurs de gradient et de divergence intrinsèques qui garantissent des propriétés de conservation sont employés. La précision du champ physique telle que la pression à côté des murs est considérablement améliorée, et la manière cohérente développée pour les opérateurs de correction de mur nous permet d'effectuer des simulations avec des modèles de turbulence. Le deuxième chapitre présente trois avancées majeures: (i) Le schéma d'intégration temporelle utilisé pour l'équation de continuité nécessite une attention particulière, et comme déjà mentionné par Vila (1999), nous prouvons qu'il est inutile d'utiliser une dépendance en temps pour la masse volumique des particules si aucune correction de noyau n'est ajoutée. Ainsi, en utilisant une version corrigée par le facteur de renormalisation du schéma d'intégration temporelle, nous sommes en mesure de simuler des simulations de longue durée parfaitement adaptées aux écoulements pariétaux turbulents quasi-permanent. (ii) Afin de calculer la correction du noyau, Feldman et Bonet (2007) utilisent une valeur analytique qui est coûteuse en calcul alors que Kulasegaram et al. (2004a) et De Leffe et al. (2009) utilisent une approximation polynomiale qui peut être difficile à définir pour des géométries complexes. Nous proposons ici de calculer le terme de renormalisation du support du noyau à proximité d'un solide avec un nouveau schéma d'intégration temporelle, nous permettant n'importe quelle forme pour la frontière. (iii) Tous les termes aux limites issus de l'approximation continue sont donnés par des sommations de surface qui ne nécessitent que des informations provenant d'un maillage de la frontière du domaine. La technique développée ici nous permet de corriger le gradient de pression et les termes visqueux et fournit donc une contrainte de cisaillement de paroi correcte physiquement. Il en va de même pour la prise en compte des flux de diffusion au bord pour les quantités scalaires telle que l'énergie cinétique turbulente ou sa dissipation dans un modèle de turbulence k-epsilon, qui peut ainsi être résolu avec précision en utilisant SPH. Le nouveau modèle est mis en pratique pour des conditions hydrostatiques d'un écoulement en canal, de l'eau stagnante dans un réservoir de géométrie complexe et une rupture de barrage sur un profil de lit triangulaire à angle vif où un comportement significativement amélioré est obtenu par rapport aux techniques de limite conventionnelles. La simulation du cas de test de référence d'un objet carré se déplaçant dans un réservoir fermé montre un bon accord avec la solution de référence et aucun vide n'est formé dans le domaine du fluide. Les performances du modèle pour un écoulement turbulent 2D dans un canal sont démontrées et les profils de vitesse, d'énergie cinétique turbulente et de sa dissipation sont en accord avec les profils théoriques. Enfin, la performance du modèle est étudiée pour l'écoulement dans une passe à poissons où le champ de vitesse et le champ de viscosité turbulente sont reproduits de manière satisfaisante par rapport à l'approche volumes finis. Ces travaux ont été publiés dans Ferrand et al. (2013b). Une formulation axisymétrique avec un facteur de renormalisation unifié prenant à la fois la correction radiale et la renormalisation de la paroi est proposée dans le prolongement de ce travail dans l'annexe C.5. Le troisième chapitre traite des frontières ouvertes pour l'approche SPH avec la résolution d'un problème de Riemann associé au cadre SPH compressible hyperbolique utilisé. La discrétisation de la frontière en éléments de surface (segments en 2-D) et en sommets est adéquate pour faire entrer les particules progressivement afin qu'aucune onde de pression ne soit créée par la libération de nouvelles particules fluides. Ces travaux ont été publiés dans Ferrand et al. (2017). Quelques détails ou comment intégrer le facteur de renormalisation géométrique utilisé dans les conditions aux limites SPH sont présentés en annexe. Ces travaux ont été publiés dans Mayrhofer et al. (2015). Le quatrième chapitre présente l'algorithme volumes finis ALE développé dans le code open-source massivement parallèle Code_Saturne (voir dev. Team (2019)). Un mélange original de schéma numérique basé sur les cellules utilisé pour obtenir la conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur chaque volume de contrôle de cellule et un schéma basé sur les sommets basé sur l'approche des opérateurs discrets compatibles (CDO) est présenté avec un soin particulier sur la condition à la limite de la surface libre aussi bien du point de vue du fluide que du déplacement du maillage. Différents cas de test de vérification et de validation sont présentés. Cet ouvrage a été publié dans Ferrand et Harris (2021). La discrétisation spatiale d'une équation de Poisson, utilisée pour l'étape de correction de masse dans l'approche des volumes finis ALE, est présentée à l'annexe A et a été publiée dans Ferrand et al. (2014).

  • Titre traduit

    Free-surface flow simulations with a Lagrangian and an Arbitrary Lagrangian–Eulerian methods


  • Résumé

    Free-surface flows have various natures in the environmental and industrial contexts. It may be a gentle mathematically regular surface with waves from which one may want to extract renewable energy, or an also smooth surface of an evaporating pool in case of recirculating pumps deficiency, but also a flow down a spillway with a really disturbed free-surface. Lagrange and/or Euler approaches can be used to solve the discretised Navier-Stokes equations with a free-surface. Among the Lagrangian methods, Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) is a mesh-less numerical method ideal for simulating potentially violent free-surface phenomena such as a wave breaking, or a dam-break for which many Eulerian methods can be difficult to apply. Gentle free-surface flows can also be tackled with the Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) mesh-based Finite Volumes method, where the free-surface faces of the mesh move so that the kinematic boundary condition is fulfilled. The first Chapter is made to introduce SPH and ALE Finite Volumes and to draw links between the two methods. For SPH, dealing with boundary conditions (walls and open boundaries) is one of the most challenging parts as it is declared as one of the Grand Challenges of the international organisation representing the community of researchers and industrial users of Smoothed Particle Hydrodynamics (SPHERIC). Concerning walls, many different approaches have been developed among (i) repulsive forces such as Lennard-Jones one, which is efficient to give impermeable boundaries but leads to non-physical behaviours, (ii) fictitious (or ghost) particles which provide a better physical behaviour in the vicinity of a wall but are hard to define for complex geometries and (iii) semi-analytical approach such as Kulasegaram et al. (2004a) which consists in renormalising the density field near a solid wall with respect to the missing kernel support area. The SPH part of this work extends this semi-analytical methodology, where intrinsic gradient and divergence operators that ensure conservation properties are employed. The accuracy of the physical field such as the pressure next to walls is considerably improved, and the consistent manner developed to wall-correct operators allows us to perform simulations with turbulence models. The second Chapter presents three key advances: The time integration scheme used for the continuity equation requires particular attention, and as already mentioned by Vila (1999), we prove there is no point in using a dependence in time of the particles' density if no kernel gradient corrections are added. Thus, by using a near-boundary kernel-corrected version of the time integration scheme of the form proposed by Vila (1999), we are able to simulate long-time simulations ideally suited for turbulent flow in a channel in the context of accurate boundary conditions. In order to compute the kernel correction, Feldman and Bonet (2007) use an analytical value which is computationally expensive whereas Kulasegaram et al. (2004a) and De Leffe et al. (2009) use polynomial approximation which can be difficult to define for complex geometries. We propose here to compute the re-normalisation term of the kernel support near a solid with a novel time integration scheme, allowing us any shape for the boundary. LIST OF TABLES 2 All boundary terms issued from the continuous approximation are given by surface summations which only require information from a mesh file of the boundary. The technique developed here allows us to correct the pressure gradient and viscous terms and hence provides a physically correct wall-shear stress so that even the diffusion equation of a scalar quantity such as the turbulent kinetic energy or its dissipation in a k􀀀 model of turbulence can be solved accurately using SPH. The new model is demonstrated for cases including hydrostatic conditions for a channel flow, still water in a tank of complex geometry and a dam-break over triangular bed profile with sharp angle where a significantly-improved behaviour is obtained in comparison with the conventional boundary techniques. Simulation of the benchmark test case of a square object moving in an enclosed tank shows good agreement with the reference solution and no voids are formed within the fluid domain. The performance of the model for a 2-D turbulent flow in a channel is demonstrated as the profiles of velocity, turbulent kinetic energy and its dissipation are in agreement with the theoretical ones. Finally, the performance of the model is demonstrated for flow in a fish-pass where velocity field and turbulent viscosity field are satisfactorily reproduced compared to mesh-based codes. This work has been published in Ferrand et al. (2013b). An axisymmetric formulation with a unified renormalisation factor taking both radial correction and wall renormalisation is proposed as an extension of this work in Appendix C.5. The third Chapter deals with open-boundaries for the SPH approach with the resolution of a Riemann problem associated to the hyperbolic compressible SPH framework used. The discretisation of the boundary in surface elements (segments in 2-D) and vertices is adequate to make particles enter progressively so that no pressure wave are created by the release of new fluid particles. This work has been published in Ferrand et al. (2017). Some details or how to integrate the geometrical renormalisation factor used in the SPH boundary conditions is presented in Appendix. This work has been published in Mayrhofer et al. (2015). The fourth Chapter presents the ALE Finite Volumes algorithm developed in the massively parallel open-source code Code_Saturne (see dev. Team (2019)). An original mixing of cell-based numerical scheme used to get conservation of mass and momentum on each cell control volume and a vertex-based scheme based on the Compatible Discrete Operators (CDO) approach is presented with a particular care on the free-surface condition both on fluid and mesh-displacement. Various verification and validation test cases are presented. This work has been submitted in Ferrand and Harris (2020). Space discretisation of a Poisson equation, used for the mass correction step in the ALE Finite Volumes approach, is presented in Appendix A and has been published in Ferrand et al. (2014).