Quelques problèmes autour des équations dispersives et dispersives-dissipatives

Some problems around dispersive and dispersive-dissipative equations

• Auteur / Autrice : May Abdallah
• Direction : Luc Molinet, Mohamad Darwich
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 19/12/2023
• Etablissement(s) : Tours en cotutelle avec Université libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IDP - Institut Denis Poisson
• Jury : Président / Présidente : Colette GUILLOPé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luc Molinet, Raphaël CôTE, Felipe Linares, Mohamad Darwich, Raafat Talhouk
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Raphaël CôTE, Felipe Linares

Mots clés

Mots clés libres

Problème de Cauchy

Équation de KdV-Burgers

Conditions non nulles à l'infini

Problème de minimisation

Stabilité orbitale

Théorème de Liouville non linéaire

Cauchy problem

KdV-Burgers equation

Non vanishing conditions at inifinity

Minimization problem

Orbital stability

Nonlinear Liouville theorem

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'existence et de certaines propriétés des solutions d'équations modélisant la propagation d'ondes longues dans un milieu dispersif avec ou sans dissipation. Dans la première partie de cette thèse nous étudions l'existence et l'unicité de solutions pour des équations dispersives-dissipatives avec conditions non nulles à l'infini. Nous proposons en particulier un cadre adapté à l'étude de la stabilité des solutions « kink » et nous montrons un résultat de convergence vers les solutions de l'équation purement dispersive associée lorsque le coefficient de dissipation tend vers 0. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude de l'existence et des propriétés des ondes solitaires de l'équation de Benjamin. Cette équation comprend un paramètre dont le signe change certaines propriétés de l' énergie. Dans un premier temps nous montrons l'existence, l'unicité et la stabilité orbitale des ondes solitaires, obtenues comme solution d'un certain problème de minimisation, associées soit à de grandes vitesses sans condition de signe sur le paramètre soit à de petites vitesses pour le signe adéquate. Dans un second temps nous établissons un théorème de Liouville non linéaire autour des ondes solitaires de vitesses assez élevées qui devrait être l'outil principal vers la preuve de leur stabilité asymptotique.

This thesis is devoted to the study of the existence and certain properties of the solutions of equations modeling the propagation of long waves in a dispersive medium with or without dissipation. In the first part of this thesis we study the existence and uniqueness of solutions for dispersive-dissipative equations with non-zero conditions at infinity. We propose in particular a framework adapted to the study of the stability of “kink” solutions and we show a result of convergence towards the solutions of the associated purely dispersive equation when the dissipation coefficient tends towards 0. The second part of this thesis is devoted to the study of the existence and properties of solitary waves of Benjamin's equation. This equation includes a parameter whose sign changes certain properties of the energy. Firstly we show the existence, uniqueness and orbital stability of solitary waves, obtained as a solution to a certain minimization problem, associated either with high speeds without sign condition on the parameter or with small speeds for the appropriate sign. Secondly, we establish a nonlinear Liouville theorem around solitary waves of fairly high speeds which should be the main tool towards the proof of their asymptotic stability.