Quelques problèmes sur les corps de fonctions des quadriques en caractéristique 2

Some problems on function fields of quadrics in characteristic 2.

• Auteur / Autrice : Diksha Mukhija
• Direction : Ahmed Laghribi
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 09/12/2021
• Etablissement(s) : Artois
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMLens - Laboratoire de Mathématiques de Lens
• Jury : Président / Présidente : Bruno Kahn
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ahmed Laghribi, Jean-Pierre Tignol, Detlev Hoffmann, André Leroy, Anne Quéguiner-mathieu
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-Pierre Tignol, Detlev Hoffmann

Mots clés

Mots clés libres

Forme quadratique

Corps de fonction d'une quadrique

Extension purement inséparable

Cohomologie de Kato

Algèbre simple centrale

Descente

Quadratic form

Function field of a quadric

Purely inseparable extension

Kato's cohomology

Central simple algebra

Descent

Résumé

Dans cette thèse nous étudions différents problèmes concernant le comportement des formes quadratiques et différentielles après extension des scalaires à différents types d’extensions de corps $L/F$, où $F$ est un corps de caractéristique $2$. Notre premier résultat donne une version générale du théorème de norme pour les formes quadratiques semi-singulières complétant ainsi les versions de ce théorème prouvées auparavant pour les formes quadratiques non singulières ainsi que pour les formes quadratiques totalement singulières. Le théorème de norme donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme normé irréductible $pin F[x_1, cdots, x_n]$ en les variables $x_1, cdots, x_n$ soit un facteur de similitude d’une $F$-forme quadratique (bilinéaire) définie sur $F$. Nous établissons aussi une version du théorème de norme dans le cadre de la cohomologie de Kato après avoir introduit la notion de formes différentielles hyperboliques. Cela a été possible en exploitant des progrès récents sur la notion de transfert pour la cohomologie de Kato sur les extensions purement inséparables en caractéristique $p > 0$. En explorant cette notion de transfert, nous avons aussi donné une nouvelle preuve du noyau de l’homomorphisme de restriction $H_p^{n+1}(F)longrightarrow H_p^{n+1}(L)$, où $L/F$ est une extension purement inséparable arbitraire de caractéristique $p>0$ et $H_p^{n+1}(F)$ est la cohomologie de Kato de $F$. Nous donnons aussi une classification complète des formes quadratiques semi-singulières dont l’indice de Witt et l’indice de défaut sont maximaux sur une extension purement inséparable modulaire de $F$. Ceci généralise un résultat récent de Sobiech sur le noyau de Witt d’une telle extension. Utilisant différents calculs sur le noyau de Witt gradué, nous avons étudié la propriété d’excellence pour différents types d’extensions quartiques inséparables. Nous avons aussi établi qu’une extension donnée par le corps de fonctions d’une conique singulière est excellente pour les formes bilinéaires. La dernière partie de la thèse est consacrée à l’étude du problème de descente dans l’esprit des conjectures posées par Kahn sur ce problème en caractéristique différente de $2$. Nous avons étudié de mani`ere compl`ete ce problème pour les $K$-formes quadratiques et bilinéaires de dimension au plus $4$ lorsque $K$ est le corps de fonctions d’une quadrique projective.

In this thesis, we study various problems exploring the behavior of quadratic and differential forms after extending scalars to different types of field extensions $L/F$, where $F$ denotes a field of characteristic $2$. Our first result gives a general version of the norm theorem for semisingular quadratic forms that in addition to existing results on nonsignular and totally singular forms completes the theorem for quadratic forms in characteristic $2$. This norm theorem gives a necessary and sufficient condition for an irreducible monic polynomial $p in F[x_1, hdots , x_n]$ in the variables $x_1, hdots, x_n$ to be a similarity factor of a quadratic (bilinear) form defined over $F$. Further, we also establish a version of norm theorem in the framework of Kato cohomology after introducing the notion of hyperbolic differential forms. This has been possible by exploiting recent advances on the notion of transfer for Kato cohomology on extensions that are purely inseparable in characteristics $p >0$. By exploring this notion of transfer, we also give an alternate proof for the kernel of restriction homomorphism $H_p^{n}(F) longrightarrow H_p^n(L)$, where $L/F$ is an arbitrary purely inseparable extension of characteristic $p > 0$ and $H_p^n(F)$ is the Kato cohomology group. We also give a complete classification of semisingular quadratic forms that have maximal Witt and defect index over a purely inseparable modular field extension of $F$. This generalizes a recent result of Sobiech on the Witt kernel of such an extension. Using different calculations on the graded Witt kernel, we study the excellence property for different types of inseparable quartic extensions. We also prove that the function field of a singular conic is excellent for bilinear forms. The last part of the thesis is devoted to the study of the descent problem in the spirit of conjectures proposed by Kahn on this problem in characteristic different from $2$. We study this problem in a complete manner for $K$-quadratic and bilinear forms up to dimension $4$ when $K$ is the function field of a projective quadric.