Modélisation topologique des structures et processus musicaux

Topological modeling for musical structures and processes

• Auteur / Autrice : Victoria Callet
• Direction : Pierre Guillot, Moreno Andreatta
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Franck Hétroy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Bigo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Isabelle Bloch, Carlos Agón

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modélisation des données (informatique)

Mots clés libres

Homologie persistante

Analyse topologique de données

Complexes simpliciaux

Filtration

Vietoris-Rips

Analyse musicale

Classification

Transformée de Fourier discrète

Persistent homology

Topological data analysis

Simplicial complexes

Filtration

Vietoris-Rips

Musical analysis

Automatic classification

Discrete Fourier transform

Résumé

Cette thèse propose des contributions dans différents problèmes issus du domaine de l'analyse topologique de données musicales : les objets étudiés sont des partitions représentées symboliquement par des fichiers MIDI, et les outils utilisés sont la Transformée de Fourier Discrète et l'homologie persistante. Le manuscrit se découpe en trois parties : les deux premières sont consacrées à l'étude des objets mathématiques précédemment cités et à la mise en place du modèle. Plus précisément, la notion de DFT introduite par Lewin est généralisée au cas de la dimension deux, en explicitant le passage d'une mesure d'un morceau à un sous-ensemble de Z/tZ x Z/pZ, ce qui conduit naturellement à une notion de métrique sur l'ensemble des mesures via leurs coefficients de Fourier. De cette construction naît un nuage de points auquel est associé le complexe filtré de Vietoris-Rips, et par suite une famille de codes-barres donnés par l'homologie persistante. Cette approche permet également de généraliser des résultats classiques tels que le lemme de Lewin ou encore le théorème de l'hexachorde de Babitt. La dernière partie de cette thèse est consacrée aux applications musicales du modèle basé sur la DFT : la première expérience consiste à extraire des codes-barres provenant de partitions artificiellement construites, telles que des gammes ou des accords plaqués. Cette étude mène en particulier à l'harmonisation de chansons que l'on réduit à leur mélodie et leur grille d'accords, ce qui permet entre autre de définir les notions de graphe et de complexité d'un morceau. L'homologie persistante se prête également au problème de la classification automatique du style musical, qui sera traité ici sous le prisme de descripteurs symboliques donnés par des statistiques calculées directement sur les codes-barres. Enfin, la dernière application propose un encodage des mesures basé sur la distance de Hausdorff conduisant à l'étude des textures musicales.

This thesis proposes contributions to various problems in the field of topological analysis of musical data: the objects studied are scores represented symbolically by MIDI files, and the tools used are the discrete Fourier transform and persistent homology. The manuscript is divided into three parts: the first two are devoted to the study of the aforementioned mathematical objects and the implementation of the model. More precisely, the notion of DFT introduced by Lewin is generalized to the case of dimension two, by making explicit the passage of a musical bar from a piece to a subset of Z/tZ x Z/pZ which leads naturally to a notion of metric on the set of musical bars by their Fourier coefficients. This construction gives rise to a point cloud, to which the filtered Vietoris-Rips complex is associated, and consequently a family of barcodes given by persistent homology. This approach also makes it possible to generalize classical results such as Lewin's lemma and Babitt's Hexachord theorem. The last part of this thesis is devoted to musical applications of the model: the first experiment consists in extracting barcodes from artificially constructed scores, such as scales or chords. This study leads naturally to song harmonization process, which reduces a song to its melody and chord grid, thus defining the notions of graph and complexity of a piece. Persistent homology also lends itself to the problem of automatic classification of musical style, which will be treated here under the prism of symbolic descriptors given by statistics calculated directly on barcodes. Finally, the last application proposes a encoding of musical bars based on the Hausdorff distance, which leads to the study of musical textures.