Étude et déformations des (super)algèbres de Lie-Rinehart en caractéristique positive

Study and deformations of Lie-Rinehart (super)algebras in positive characteristic

• Auteur / Autrice : Quentin Ehret
• Direction : Abdenacer Makhlouf
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/09/2023
• Etablissement(s) : Mulhouse
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Recherche en Informatique, Mathématiques, Automatique et Signal (Mulhouse) - Institut de Recherche en Informatique Mathématiques Automatique Signal - IRIMAS - UR 7499 / IRIMAS

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul formel

Lie, Algèbres de

Cohomologie

Mots clés libres

Algèbres de Lie-Rinehart

Cohomologie

Déformations

Classification

Algèbres de Lie restreintes

Représentations restreintes

Doubles extensions symplectiques

Lie-Rinehart algebras

Cohomology

Deformations

Classification

Restricted Lie algebras

Restricted performances

Double symplectic extensions

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'étude des algèbres de Lie-Rinehart, en particulier en caractéristique positive. On s'intéresse à leur structure, leur cohomologie, leurs déformations et à leur classification. On commence par étudier le cas des super-algèbres de Lie-Rinehart en caractéristique nulle. Dans ce cadre, on utilise la correspondance bijective avec les super-multidérivations (qu'on introduit) afin de construire une cohomologie adaptée aux déformations formelles de ces objets. On montre que cette cohomologie contrôle les déformations formelles des super-algèbres de Lie-Rinehart. En particulier, deux déformations équivalentes correspondent à des 2-cocycles cohomologues. On établit également une classification de ces objets en petites dimensions, réalisée à l'aide du logiciel de calcul formel Mathematica.En caractéristique p>3, on commence par étudier les algèbres de Lie restreintes, ainsi que leur cohomologie. On utilise cette cohomologie restreinte, connue que partiellement (jusqu'à l'ordre 2), pour contrôler les déformations restreintes d'algèbres de Lie-Rinehart restreintes. On illustre ces résultats sur un exemple construit sur l'algèbre de Heisenberg. Dans le cas particulier de la caractéristique p=2, on construit une cohomolgie complète, à tout ordre, qui n'a pas d'analogue en caractéristique différente de 2. On montre ensuite que cette nouvelle cohomologie a des interprétations classiques en termes de déformations d'algèbres de Lie restreintes et de Lie-Rinehart restreintes.On étudie ensuite les représentations restreintes d'algèbres de Lie-Rinehart restreintes. On construit une structure restreinte sur le produit semi-direct, puis une structure de Lie-Rinehart restreinte. On étudie ensuite certains exemples en dimension infinie.Enfin, on présente une nouvelle application de la cohomologie restreinte aux doubles extensions symplectiques de super-algèbres de Lie restreintes de type quasi-Frobenius. On montre en particulier que les obstructions au processus de double extension dans ce contexte sont des objets encodés par la cohomologie restreinte.

The aim of this thesis is the study of restricted Lie-Rinehart algebras, in particular in positive characteristic. We are interested in their structure, cohomology, deformations and classification. We begin by tackling the case of Lie-Rinehart superalgebras in zero characteristic. In this framework, we use a bijective correspondence with super-multiderivations (which we introduce) to construct a cohomology adapted to formal deformations of these objects. We show that this cohomology controls formal deformations of Lie-Rinehart superalgebras. In particular, cohomologous cocycles provide equivalent deformations. We also establish a classification of these objects in low dimensions, carried out using the computer algebra system Mathematica.In characteristic p>3, we begin by studying restricted Lie algebras and their cohomology. We use this partially known (up to order 2) restricted cohomology to control restricted deformations of restricted Lie-Rinehart algebras. We illustrate these results with an example constructed on the Heisenberg algebra. In the special case of characteristic p=2, we construct a complete cohomology at any order, which has no analogue in characteristics different from 2. We then show that this new cohomology has classical interpretations in terms of restricted deformations of Lie algebras and restricted Lie-Rinehart algebras.Next, we investigate restricted representations of restricted Lie-Rinehart algebras. We construct a restricted structure on the semidirect product, as well as a restricted Lie-Rinehart structure. We then study some infinite-dimensional examples. Finally, we present a new application of restricted cohomology to symplectic double extensions of quasi-Frobenius-type restricted Lie superalgebras. In particular, we show that the obstructions to the double extension process are objects encoded by the restricted cohomology.